Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 12. 2015 22:16

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Dláždění

Ahoj.
Při výuce primy na gymnáziu podle učebnice od H-mat (Hejného metoda viz http://www.h-mat.cz/) jsem narazila na příklady typu:

Příklad 1
$$$Jedinou parketou \setlength{\unitlength}{0.55cm}\begin{picture}(1,1)(0,0)
\multiput(0,0)(1,0){2}{\line(0,1){1}}
\multiput(0,0)(0,1){2}{\line(1,0){1}}
\end{picture} a několika parketami \begin{picture}(3,1)(0,0)
\multiput(0,0)(1,0){4}{\line(0,1){1}}
\multiput(0,0)(0,1){2}{\line(1,0){3}}
\end{picture} pokryjte čtverec $5\times 5$. Vyjasněte, na kterém poli čtverce může ležet \begin{picture}(1,1)(0,0)
\multiput(0,0)(1,0){2}{\line(0,1){1}}
\multiput(0,0)(0,1){2}{\line(1,0){1}}
\end{picture}.$$$

Příklad 2
$$$Jedinou parketou \setlength{\unitlength}{0.55cm}\begin{picture}(1,1)(0,0)
\multiput(0,0)(1,0){2}{\line(0,1){1}}
\multiput(0,0)(0,1){2}{\line(1,0){1}}
\end{picture} a několika parketami \begin{picture}(3,2)(0,0)
\multiput(0,0)(1,0){4}{\line(0,1){1}}
\multiput(0,0)(0,1){2}{\line(1,0){3}}
\multiput(2,1)(1,0){2}{\line(0,1){1}}
\put(2,2){\line(1,0){1}}
\end{picture} pokryjte čtverec $5\times 5$. Vyjasněte, na kterém poli čtverce může ležet \begin{picture}(1,1)(0,0)
\multiput(0,0)(1,0){2}{\line(0,1){1}}
\multiput(0,0)(0,1){2}{\line(1,0){1}}
\end{picture}.$$$

Tyto i jiné príklady na dláždění žáky bavily. Jak se vám líbí? Jakou metodu byste uplatnili při řešení?


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#2 05. 12. 2015 22:43

check_drummer
Příspěvky: 2706
Reputace:   73 
 

Re: Dláždění

↑ Andrejka3:
Ahoj, často se to řeší vhodným obarvením polí šachovnice - např. v příkladě 1 nalezneme-li takové obarvení, že každá 3-parketa pokryje čtverce všech tří barev, tak ta barva, která má o 1 větší zastoupení než ostatní dvě je potenciální pole pro 1-parketu.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#3 05. 12. 2015 23:23

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Dláždění

↑ check_drummer:
Díky, a podobný postup by šel provést i u druhého příkladu?


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#4 06. 12. 2015 11:43

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Dláždění


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 06. 12. 2015 21:10

check_drummer
Příspěvky: 2706
Reputace:   73 
 

Re: Dláždění

↑ Andrejka3:
Ahoj, zkusil bych klasické obarvení šachovnice - pak 4-parketa bude pokryta 2ma černými a 2ma bílými poli.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#6 06. 12. 2015 21:22

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Dláždění

↑ check_drummer:
Díky, no tak to je výborné.
Ale třeba tady s touhle parketou jsem nahraná, ne? To už je asi třeba zkoušet, že?
$$$\setlength{\unitlength}{0.55cm}
\begin{picture}(2,2)(1,0)
\multiput(1,0)(1,0){3}{\line(0,1){1}}
\multiput(1,0)(0,1){2}{\line(1,0){2}}
\multiput(2,1)(1,0){2}{\line(0,1){1}}
\put(2,2){\line(1,0){1}}
\end{picture}$$$


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#7 07. 12. 2015 21:31

check_drummer
Příspěvky: 2706
Reputace:   73 
 

Re: Dláždění

↑ Andrejka3:
Ahoj, no ono i u těch předchozích je to potřeba zkoušet, protože jsou to podmínku nutné, ale nemusí být postačující.
To, že nás nenapadá žáné obarvení, neznamená, že neexistuje. :-) Např. 1-parketu nelze místit na pole 2,2 - pak jsou pozice ostatních 3-parket v podšachovnicích 2x2, 2x3,2x3 vynuceny a zbylou 3x3 pokrýt nelze...


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#8 07. 12. 2015 22:06

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Dláždění

↑ check_drummer:
Takovým způsobem jsem taky hledala řešení. Nebo dokazovala, že neexistuje. Jen mě zajímalo, jestli ještě nejde nějak hezky dostat zas nutné podmínky existence řešení, podobně jako předtím.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#9 09. 12. 2015 01:07

check_drummer
Příspěvky: 2706
Reputace:   73 
 

Re: Dláždění

↑ Andrejka3:
Ahoj. Napadlo mě toto: Označme jako A množinu pěti polí: [3,3] (tj. střed šachovnice) a pole [1,3] a 3 další pole, které z něj získáme rotací kolem středu o úhly, které jsou násobky 90 stupňů.
Potom nelze jednou 3-parketou pokrýt dvě pole z A - a tedy na pokrytí polí z A je potřeba (právě) 5 3-parket. Ovšem žádnou z těchto 3-parket nepokryjeme rohy šachovnice - k tomu bychom potřebovali tedy další 4 3-parkety (na každý roh jednu). Ale to je dohromady už 5+4=9 3-parket a my máme k dispozici jen 8. A to tedy znamená, že 1-parketa se musí nacházet na nějakém poli z A (pokud tedy vůbec nějaké přípustné pokrytí existuje).
Uvedenou úvahu je možné zobecnit, takže by bylo možné ji použít i na další pokrytí.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#10 09. 12. 2015 13:57 — Editoval Andrejka3 (09. 12. 2015 14:01)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Dláždění

↑ check_drummer:
Ahoj,
Ta úvaha se mi líbí, ale až do chvíle, kdy píšeš:

A to tedy znamená, že 1-parketa se musí nacházet na nějakém poli z A (pokud tedy vůbec nějaké přípustné pokrytí existuje).

Protože tam tu nutnost nevidím - ono existuje dláždění, kdy 1-parketa je v rohu, tedy mimo A:
$$$
\setlength{\unitlength}{0.55cm}
\begin{picture}(5,5)(0,0)
\put(0.5,0.5){\line(1,0){1.2}}
\put(0.5,0.5){\line(0,1){1.2}}
\put(1.5,2.5){\line(1,0){1.2}}
\put(1.5,2.5){\line(0,-1){1.2}}
\put(0.5,3.5){\line(1,0){1.2}}
\put(0.5,3.5){\line(0,-1){1.2}}
\put(0.5,4.5){\circle*{0.3}}
\put(2.5,4.5){\line(0,-1){1.2}}
\put(2.5,4.5){\line(-1,0){1.2}}
\multiput(2.5,0.5)(0,1){2}{\line(1,0){2}}
\multiput(2.5,0.5)(2,0){2}{\line(0,1){1}}
\multiput(3.5,2.5)(0,2){2}{\line(1,0){1}}
\multiput(3.5,2.5)(1,0){2}{\line(0,1){2}}
\linethickness{0.3mm}
\multiput(0,0)(1,0){6}{\line(0,1){5}}
\multiput(0,0)(0,1){6}{\line(1,0){5}}
\end{picture}$$$
Zamyslím se nad tím.

edit: Aha, stačí mít A těch devět polí, co jsi psal :)


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#11 09. 12. 2015 14:04

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Dláždění

Ještě mi přijde zajímavé (aspoň z didaktického pohledu): dlaždice mívají někdy rub a líc a tedy by nemusely být povoleny nepřímé shodnosti. Což má důsledky pro druhý příklad z prvního příspěvku.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#12 09. 12. 2015 15:56

check_drummer
Příspěvky: 2706
Reputace:   73 
 

Re: Dláždění

↑ Andrejka3:
Je to tak - moje úvaha byla špatná - ale stačí volit jako A pole [i,j] pro i,j lichá.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson