Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 01. 2016 18:21

ironhide
Příspěvky: 153
Reputace:   
 

derivace inverzní funkce

Zdravím,

mohl byste mi prosím někdo rozepsat jak se dojde k tomu $\mathrm{e}^{\ln x}$

//forum.matematika.cz/upload3/img/2016-01/87284_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Předem moc děkuji

Offline

 

#2 07. 01. 2016 18:25 — Editoval ironhide (07. 01. 2016 18:26)

ironhide
Příspěvky: 153
Reputace:   
 

Re: derivace inverzní funkce

↑ ironhide:

nebo chápu to správně že se tam nic nenásobí, ale prostě se provede inverze ln(x) a ihned se dosadí za x v inverzní funkci původní funkce?

Offline

 

#3 07. 01. 2016 21:09

Sergejevicz
Příspěvky: 581
Škola: Mgr. mat. a fyz. modelování na MFF UK v r. 2014
Pozice: výpočtář
Reputace:   21 
Web
 

Re: derivace inverzní funkce

Je to skoro tak, ale... :-) V symbolu $(f^{-1})'(f(x))$ ani žádné násobení není obsaženo. Je to takhle: Použiju i jiné písmenko než x, aby se nepletlo x s x :-). Mějme funkci f vyhodnocenou v bodě y, tzn. $f(y)$. Inverzní funkce k funkci f se značí $f^{-1}$, takže inferzní funkce k funkci f vyhodnocená v bodě y se značí $f^{-1}(y)$. Derivace funkce se značí apostrofem, takže derivace funkce $f^{-1}$ se značí $(f^{-1})'$, takto se závorkami, protože se chce zdůraznit, že k f se nejprve dělá inverze a až potom derivace, a také -1 v horním indexu a navíc apostrof by vypadaly divně. Derivace inverzní funkce k funkci f vyhodnocená v bodě y se značí $(f^{-1})'(y)$ - tedy stejně jako libovolná funkce vyhodnocená v y, totiž tak, že se za označení funkce přidají okrouhlé závorky obsahující y, a konečně derivace inverzní funkce k funkci f vyhodnocená speciálně v bodě y = f(x) se značí $(f^{-1})'(f(x))$. Tedy nikde žádné násobení.

Já to teď naroubuju na právě napsané, tj. využiju i označení y, aby se nám nepletlo x z původní funkce a z funkce inverzní, i když bychom mohli provádět přeznačování tak, aby argumentem bylo vždy x.

V našem případě je $y = f(x) = \ln(x)$, inverze je tedy $f^{-1}(y) = \mathrm{e}^y$, toho derivace (podle jediné proměnné y) je $(f^{-1})'(y) = (\mathrm{e}^y)' = \mathrm{e}^y$, a tedy toho vyhodnocení v f(x) je $(f^{-1})'(f(x)) = \mathrm{e}^{f(x)} = \mathrm{e}^{\ln(x)} = x$. Vyjde to právě x, protože exponenciála a logaritmus jsou navzájem inverzní funkce.


Kopáček: Mat. anal. nejen pro fyziky, Veselý: Zákl. mat. anal., Bečvář: Lin. alg., Matfyzpress
Bican: Lin. alg. a geom., Academia

Offline

 

#4 14. 01. 2016 09:55

Sergejevicz
Příspěvky: 581
Škola: Mgr. mat. a fyz. modelování na MFF UK v r. 2014
Pozice: výpočtář
Reputace:   21 
Web
 

Re: derivace inverzní funkce

Mnemotechnická pomůcka:
Je $f(f^{-1}(x))=x$. Zderivujeme podle x na obou stranách, nalevo uplatníme derivaci složené funkce, a nakonec vyjádříme $f^{-1}(x)$, a tím tak dostaneme vzorec pro derivování inverzní funkce.


Kopáček: Mat. anal. nejen pro fyziky, Veselý: Zákl. mat. anal., Bečvář: Lin. alg., Matfyzpress
Bican: Lin. alg. a geom., Academia

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson