Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 01. 2016 23:02 — Editoval Optix (24. 01. 2016 23:29)

Optix
Příspěvky: 133
Pozice: Student
Reputace:   
 

Konvexní funkce

Ahoj všem, budu strašně vděčný za jakoukoli pomoc. Dostal jsem se k úloze kde mam ověřit zda funkce je konvexní zadání je že mame matici A typu n x m a víme ze existuje nezáporné řešení y, $A^{T}y\le c$ a chtěl bych zjistit zdali je funkce$f(b) = min\{c^{T}x; Ax\ge b, x \ge0\}$.
Moc nevim jak postupovat, chtěl jsem to ověřovat přímo z definice jako přes $\lambda$ ale to jsem dospěl jen k tomu, že ta množina bez minima je konvexní, tak nevim jestli mužu prohlásit ze pak i to min je konvexní (z důvodu ze funkce je konvexní kdyz epigraf je konvexní a tady je to tak nejak podobne).
Předem vsem moc dekuju za pomoc

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Optix)

#2 25. 01. 2016 06:50

Brano
Příspěvky: 2539
Reputace:   219 
 

Re: Konvexní funkce

najprv si over, ze je fcia dobre definovana - t.j. ze $c^Tx$ je na danej mnozine zdola ohranicene
(b.t.w. definicny obor $f$ su take $b$, ze existuje nezaporne riesenie $Ax\ge b$)
konvexnost:
nech $f(p)=c^Tx_p$ a $f(q)=c^Tx_q$ kde $x_p,x_q\ge 0$ a teda aj $x_\lambda=\lambda x_p+(1-\lambda)x_q\ge 0$. A kedze $Ax_p\ge p$ a $Ax_q\ge q$ tak potom
$Ax_\lambda= A(\lambda x_p+(1-\lambda)x_q)=\lambda Ax_p+(1-\lambda)Ax_q\ge \lambda p+(1-\lambda) q$. Teda
$f( \lambda p+(1-\lambda) q)\le c^Tx_\lambda=\lambda c^Tx_p+(1-\lambda)c^Tx_q= \lambda f(p)+(1-\lambda) f(q)$

Offline

 

#3 25. 01. 2016 09:48 — Editoval Optix (25. 01. 2016 09:49)

Optix
Příspěvky: 133
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Konvexní funkce

Díky Brano,
ale mohl bys mi prosím ještě nějak poradit jak s tím definičním oborem?
asi tam musím využít tu informaci že existuje to nezáporné řešení $A^{T}y\le c$.

Ještě bych měl jednu otázku, když do tohoto zadání zkusím vložit konkrétní hodnoty, třeba v jednorozměrném případě a vložím $A=-3; c=2$ pak nezáporné y existuje např. 0, ale daná funkce mi vychází jako$f(b) = 0, b\in (-\infty ,0]$ a $f(b) = min\{ \emptyset \} = \infty , b\in(0,\infty)$ a taková to funkce není konvexní na R

Offline

 

#4 25. 01. 2016 22:20 — Editoval Brano (25. 01. 2016 23:04)

Brano
Příspěvky: 2539
Reputace:   219 
 

Re: Konvexní funkce

no to sa tam podla mna nehovori, ze ma byt konvexna na R ale snad iba na svojom definicnom obore ktory v tvojom pripade je $(-\infty,0]$; ale v podstate ak chces pripustat aj nekonecne hodnoty ako legalne hodnoty f-ka tak tvoj priklad je funkcia ktora je konvexna na R preco by nemala byt?

no a prvej otazke moc nerozumiem ... asi, ze ako sa dokaze ta ohranicenost zdola - tak to je pomerne  trivialne
$y^Tb\le y^TAx\le c^Tx$

Offline

 

#5 25. 01. 2016 22:32

Optix
Příspěvky: 133
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Konvexní funkce

jo super moc děkuju, já jsem myslel že u toho omezení zdola má být ještě něco, ale je fakt, že tohle to upřesňuje dostatečně :)

Ještě jednou děkuju, moc jsi mi pomohl, já jsem se v tom nějak strašně zamotal

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson