Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 01. 2016 18:36

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

hra s mincí

Hrajeme následující hru:
Házíme stále dokola mincí. Kdykoliv nám padne $n$-krát za sebou panna, můžeme si vybrat výhru typu $n$ (a začínáme počítat zase od 0), nebo můžeme prostě pokračovat v házení a čekat na lepší výhru. Když nám ovšem padne orel, tak se série pannen přeruší aniž bysme cokoliv získali (ale házíme dál).

Otázka zní: Kolik je průměrně potřeba hodů k získání jedné výhry typu $n$?

Offline

 

#2 26. 01. 2016 19:40

check_drummer
Příspěvky: 2676
Reputace:   73 
 

Re: hra s mincí

↑ Stýv:
Ahoj, n je pevné a nebo libovolné? Tj. musíme dosáhnout určitého daného n, abychom získali výhru, a nebo si ji můžeme vyplatit "kdykoli" (po několika pannách, jejichž počet označme n)?


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#3 26. 01. 2016 22:08

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: hra s mincí

n je libovolné pevné:-) nějak nechápu, jaký je v tom rozdíl

Offline

 

#4 27. 01. 2016 13:52 — Editoval Xellos (27. 01. 2016 13:52)

Xellos
Příspěvky: 523
Škola: MFF CUNI, Bc. (13-16)
Reputace:   36 
 

Re: hra s mincí

$E_n(k)=1+\frac{1}{2}E_n(k-1)+\frac{1}{2}E_n(n)$

(rekurencia pre ocakavanu hodnotu $E(k)$ poctu hodov ak treba na vyhru este $k$ v serii; $E_n(0)=0$)

Staci sa pozriet na $E_n(n)+2$ ako konstantu $c$, vyriesit ez lin. rekurenciu a dosadenim za $n$-ty clen dostat $E_n(n)$ explicitne.

Offline

 

#5 27. 01. 2016 17:51

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: hra s mincí

↑ Xellos: éééé....? nejsem si jistý (jelikož jsi nenapsal, jak jsi dostal ten rekurentní vzorec, ani nějaký výseldek, který bych mohl zkontrolovat), ale mám dojem, že možná řešíš trochu jinou otázku, něž jsem měl na mysli. tak jen pro ujasnění:

neptám se na průměrný počet hodů do první výhry, ale na průměrný počet hodů potřebný k získání jedné výhry, tj. pokud je odpověď x, pak např. ve 100*x hodech očekávám, že vyhraju stokrát. možná je to to samé, ale nevím, nezkoumal jsem to

Offline

 

#6 27. 01. 2016 18:28

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: hra s mincí

↑ Stýv:

Asi tomu nerozumím. Jaká je strategie při hraní? Píšeš, že si můžeme vzít výhru, nebo můžeme pokračovat. Ale nepíšeš, jak se kdy rozhodneme. Na tom přece závisí výsledek. Pokud moje strategie bude "beru výhru vždy, když je za sebou 10-krát panna, jinak neberu" nebo "beru výhru vždy už při první panně", tak určitě dostanu různé výsledky.

Offline

 

#7 27. 01. 2016 18:35

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: hra s mincí

↑ Pavel Brožek: no to je právě ten parametr $n$

Offline

 

#8 27. 01. 2016 18:43

check_drummer
Příspěvky: 2676
Reputace:   73 
 

Re: hra s mincí

↑ Stýv:
Je v tom rozdíl, řekl bych: Pokud je n konkrétní pevné číslo (dané na počátku hry), řekněme 5, tak nemůžu přijmout výhru, pokud padnou třeba 4 panny. Naopak, pokud je n porměnné - a jen označuje počet padnouvších pannen, tak i když padnou 3, 5, apod. panny, tak vždy mohu přijmout výhru - a´t padne počet pannen po sobě jakýkoliv.
Jak to tedy je?


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#9 27. 01. 2016 18:54

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: hra s mincí

↑ check_drummer: ale výhru typu $n$ můžeš zvolit jenom, pokud těch panen bylo $n$. to $n$ může být libovolné, je to parametr v té úloze

Offline

 

#10 27. 01. 2016 19:47

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: hra s mincí

↑ Stýv:

Takže je to myšleno tak, že n je dané a ta hra se dá formulovat pro konkrétní n? Takže kdybych to formuloval třeba pro n=5, tak by ta úloha měla smysl? A ty chceš, abychom ji vyřešili pro každé n, je to tak? Stejně mi to nedává smysl. To by pak nemělo smysl mluvit o "výhře typu 5", protože by pro danou hru výhra jiného typu než 5 nebyla. Nebo můžou být různé (a tedy i lepší) výhry stejného typu? Pořád mi to zadání nedává smysl...

Offline

 

#11 27. 01. 2016 19:55

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: hra s mincí

↑ Pavel Brožek: jo, asi se tím to zadání zbytečně "zkomplikovalo", holt je to slovní úloha ze života a ne zadání standardní rovnice pro průměrného žáčka SŠ. tak já tedy to přeformuluju:

Kdykoliv nám padne $n$-krát za sebou panna, vyhráváme (a začínáme počítat zase od 0). Když nám ovšem padne orel, tak se série pannen přeruší aniž bysme cokoliv získali (ale házíme dál).

Otázka zní: Kolik je průměrně potřeba hodů k získání jedné výhry (v závislosti na parametru $n$)?

Offline

 

#12 27. 01. 2016 20:04

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: hra s mincí

↑ Stýv:

V tom případě ale nechápu, jaký je rozdíl mezi touhle úlohou a úlohou "kolik je průměrně potřeba hodů, abychom dosáhli toho, že n-krát za sebou padne panna". Pokud hru hraju a znám n a snažím se získat výhru, tak ji přece vezmu hned jak můžu. Pokud n neznám, pak ale musím mít nějakou strategii kdy výhru brát a kdy ne.

Pokud je to úloha ze života, tak ji spíš zkus formulovat pomocí pojmů ze života, třeba nám bude jasnější, jak to vlastně myslíš.

Offline

 

#13 27. 01. 2016 20:16

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: hra s mincí

Pavel Brožek napsal(a):

↑ Stýv:

V tom případě ale nechápu, jaký je rozdíl mezi touhle úlohou a úlohou "kolik je průměrně potřeba hodů, abychom dosáhli toho, že n-krát za sebou padne panna".

no, asi žádný. vadí to?

Offline

 

#14 27. 01. 2016 20:20

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: hra s mincí

No nevadí, jen se to pak dá formulovat jednodušeji a přijde mi to v rozporu s tím, že jsi psal:

Stýv napsal(a):

neptám se na průměrný počet hodů do první výhry

Offline

 

#15 27. 01. 2016 20:21

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: hra s mincí

↑ Pavel Brožek: taky jsem ale psal "možná je to to samé, ale nevím, nezkoumal jsem to"

Offline

 

#16 27. 01. 2016 23:26

Xellos
Příspěvky: 523
Škola: MFF CUNI, Bc. (13-16)
Reputace:   36 
 

Re: hra s mincí

Tak ja som prave riesil priemerny pocet hodov na to, aby $n$-krat za sebou padla panna - ak prave padla $n-k$-krat za sebou. Spravim jeden hod. S pravdepodobnostou $1/2$ padne panna (teda je to od dalsieho hodu situacia s o 1 mensim $k$), s rovnakou pravdepodobnostou orol (teda situacia s $k=n$). Tot vse.

Offline

 

#17 27. 01. 2016 23:34

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: hra s mincí

↑ Xellos: tak to je ok. já na to šel jinak, řekl bych elementárnějšími metodami

Offline

 

#18 28. 01. 2016 17:56

check_drummer
Příspěvky: 2676
Reputace:   73 
 

Re: hra s mincí

↑ Xellos:
Ahoj, použil jsem podobný postup, resp. jednodušší


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#19 30. 01. 2016 15:19

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: hra s mincí

pro zajímavost přidám svoje řešení:

Offline

 

#20 30. 01. 2016 23:53

check_drummer
Příspěvky: 2676
Reputace:   73 
 

Re: hra s mincí

Ahoj,

Stýv napsal(a):

pro zajímavost přidám svoje řešení:

tomu nerozumím - mohl bys to prosím objasnit? - To platí vždy a nebo jen pro náš konkrétní problém?


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#21 31. 01. 2016 00:04

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: hra s mincí

↑ check_drummer: to jenom říkám, že střední hodnota alternativního rozdělení s parametrem p je p, to platí vždy

Offline

 

#22 31. 01. 2016 02:36

check_drummer
Příspěvky: 2676
Reputace:   73 
 

Re: hra s mincí

↑ Stýv:
Ale ten očekávaný počet výher na jeden hod přece závisí na hitorii - na tom co padlo před tím hodem, který zkoumám...


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#23 31. 01. 2016 10:19

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: hra s mincí

↑ check_drummer: nepodmíněná střední hodnota na ničem nezávisí, to je prostě číslo

Offline

 

#24 31. 01. 2016 14:18

check_drummer
Příspěvky: 2676
Reputace:   73 
 

Re: hra s mincí

↑ Stýv:
Ale pravděpodobnost p výhry v jednom hodu závisí na historii... Ta pravděpodobnost je totiž obecně jiná, jedná-li se o první hod a nebo o miliontý hod - např. je- n>1, tak prvním hodem nevyhraješ nikdy, kdežto miliontým vyhrát můžeš.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#25 31. 01. 2016 14:27

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: hra s mincí

↑ check_drummer: tu historii uvažuju nekonečnou, vždyť to tam píšu

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson