Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 04. 2016 11:21 — Editoval stuart clark (30. 04. 2016 11:22)

stuart clark
Příspěvky: 907
Reputace:   
 

Definite Integral with fractional part

$\int_{0}^{1}\{(-1)^{\lfloor \frac{1}{x}\rfloor}\frac{1}{x}\}dx\;,$ Where $x=\lfloor x \rfloor +\{x\}.$

Offline

 

#2 10. 05. 2016 12:19 — Editoval Marian (10. 05. 2016 12:28) Příspěvek uživatele Marian byl skryt uživatelem Marian. Důvod: Vzhledem k následujícímu příspěvku již nepodstatné...

#3 10. 05. 2016 20:34 — Editoval Marian (11. 05. 2016 11:55)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2493
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   65 
 

Re: Definite Integral with fractional part

Due to the erratic behavior of the compilation system on this web, I have prepared the solution in the form of the following LaTeX code. Please, compile the code in your editor (run pdflatex.exe) to produce the appropriate PDF-file or use the online compilation here.


(corrected - May 11, 11:51 a.m.)

Code:

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage{MnSymbol}
\def\N{\mathbb N}
\def\dx{\textnormal dx}
%
\thispagestyle{empty}
\parindent=0pt
%
%
\begin{document}
It is easy to see that
\[
\left\{(-1)^{\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor}\cdot\frac{1}{x}\right\}
 =\begin{cases}
  n-\tfrac{1}{x}    & x\in\left (\frac{1}{n},\frac{1}{n-1}\right ),\quad n\in\N ,\text{$n$ even},\\[2mm]
  \tfrac{1}{x}-(n-1)& x\in\left (\frac{1}{n},\frac{1}{n-1}\right ),\quad n\in\N ,\text{$n$ odd, $n\ge 3$}.
  \end{cases}
\]

Therefore,
\begin{align*}
I&=\int_{0}^{1}\left\{(-1)^{\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor}\cdot\frac{1}{x}\right\}\dx\\[2mm]
%-----
 &=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}
   \left\{(-1)^{\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor}\cdot\frac{1}{x}\right\}\dx\\[2mm]
%-----
 &=\lim_{N\to\infty}\left (
   \sum_{\substack{n=2\\\text{$n$ even}}}^{2\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor}
   \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n-1}}\left (n-\frac{1}{x}\right )\dx
   %
  +\sum_{\substack{n=3\\\text{$n$ odd}}}^{2\left\lfloor\frac{N-1}{2}\right\rfloor +1}
   \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n-1}}\left (\frac{1}{x}-(n-1)\right )\dx
   \right )\\[2mm]
%-----
 &=\lim_{N\to\infty}\left (
   \sum_{\substack{n=2\\\text{$n$ even}}}^{2\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor}
   \bigl [nx-\ln (x)\bigr ]_{\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n-1}}
   %
  +\sum_{\substack{n=3\\\text{$n$ odd}}}^{2\left\lfloor\frac{N-1}{2}\right\rfloor +1}
   \bigl [\ln (x)-(n-1)x\bigr ]_{\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n-1}}
   \right )\\[2mm]
%-----
 &=\lim_{N\to\infty}\left (
   \sum_{\substack{n=2\\\text{$n$ even}}}^{2\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor}
   \left (\frac{1}{n-1}-\ln\left (\frac{n}{n-1}\right )\right )
   %
  +\sum_{\substack{n=3\\\text{$n$ odd}}}^{2\left\lfloor\frac{N-1}{2}\right\rfloor +1}
   \left (\ln\left (\frac{n}{n-1}\right )-\frac{1}{n}\right )
   \right )\\[2mm]
%-----
 &=\lim_{N\to\infty}\left (
   \sum_{\substack{n=2\\\text{$n$ even}}}^{2\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor}\frac{1}{n-1}
  -\sum_{\substack{n=3\\\text{$n$ odd}}}^{2\left\lfloor\frac{N-1}{2}\right\rfloor +1}\frac{1}{n}
   \right )
   %
  +\lim_{N\to\infty}\left (
   \sum_{\substack{n=2\\\text{$n$ even}}}^{2\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor}\ln\left (\frac{n-1}{n}\right )
  +\sum_{\substack{n=3\\\text{$n$ odd}}}^{2\left\lfloor\frac{N-1}{2}\right\rfloor +1}\ln\left (\frac{n}{n-1}\right )
   \right )\\[2mm]
%-----
 &=1
  +\lim_{N\to\infty}
   \ln\left (
   \prod_{n=1}^{\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor}\frac{2n-1}{2n}\cdot
   \prod_{n=1}^{\left\lfloor\frac{N-1}{2}\right\rfloor}\frac{2n+1}{2n}
   \right )\\[2mm]
%-----
 &=1
  +\lim_{N\to\infty}
   \ln\left (
   \prod_{n=1}^{\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor}\frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2}\right )\\[2mm]
%-----
 &=1+\ln\left (\frac{2}{\pi}\right ),
%-----
\end{align*}
where we used the well-known Wallis' product.
\end{document}

To editors: Feel free to edit the source code and to retype it in a way that enables the compilation with the system used on this forum.

Offline

 

#4 01. 06. 2016 05:00

stuart clark
Příspěvky: 907
Reputace:   
 

Re: Definite Integral with fractional part

Thanks ↑ Marian:

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson