Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 08. 2016 21:56

Hertas
Příspěvky: 217
Škola: FJFI CVUT(12-15, bc)
Pozice: student
Reputace:   17 
 

Vlastnosti prvočísel

Ahoj mám k dispozici následující dvě věty:

1. Prvočíslo $p \in \mathbb{P}$ se nachází v rozkladu n! právě $\sum_{k \ge1 }^{}[\frac{n}{p^k}]$ krát. ($[]$ značí celou dolní část)

2. Prvočíslo $p \in \mathbb{P}$ se nachází v rozkladu kombinačního čísla $2n \choose n$ právě $\sum_{k \ge1 }^{}([\frac{2n}{p^k}]-2[\frac{n}{p^k}])$ krát, tj. nanejvýš r-krát, kde $r=max\{k|p^k\le 2n\}$

a z nich mám odvodit následující:
1. pokud pro $p \in \mathbb{P}$ platí $\frac{2}{3}n < p \le n$, pak se p v rozkladu $2n \choose n$ nevyskytuje

2. pokud pro $p \in \mathbb{P}$ platí $\sqrt{2n}<p$, pak p se v rozkladu $2n \choose n$  nachází nanejvýš jednou

budu rád za každou radu

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Hertas)

#2 04. 08. 2016 18:21

check_drummer
Příspěvky: 2683
Reputace:   73 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

Ahoj, co třeba druhý bod 1. Zkus si rozepsat čitatele a jmenovatele toho kombinačního čísla.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#3 08. 08. 2016 20:45

Hertas
Příspěvky: 217
Škola: FJFI CVUT(12-15, bc)
Pozice: student
Reputace:   17 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

číslo $\frac{(2n)!}{(n!)^2}$ odhadnu číslem $(2n)!$ a potom podle první věty a předpokladu, že $\sqrt{2n}<p$ stačí vzít nejmenší takové číslo (prvočíslo je speciální případ přirozeného čsla, takže to musí fungovat), tj. $p=[\sqrt{2n}] + 1$ a po dosazení dostaneme:
$\sum_{k \ge1 }^{}[\frac{2n}{([\sqrt{2n}]+1)^k}]$, takže se v rozkladu nachází opravdu nanejvýš jednou

a nevěděl bys mě nakopnout s tím prvním bodem?

Offline

 

#4 08. 08. 2016 22:39

check_drummer
Příspěvky: 2683
Reputace:   73 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

↑ Hertas:
Ahoj, nerozumím tomu prvnímu odhadu - čeho tím odhadem docílíš?


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#5 09. 08. 2016 10:28

Hertas
Příspěvky: 217
Škola: FJFI CVUT(12-15, bc)
Pozice: student
Reputace:   17 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

Potom muzu snadno pouzit tuto vetu:

Prvočíslo $p \in \mathbb{P}$  se nachází v rozkladu n! právě $\sum_{k \ge1 }^{}[\frac{n}{p^k}]$ krát.

Offline

 

#6 09. 08. 2016 16:26

check_drummer
Příspěvky: 2683
Reputace:   73 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

↑ Hertas:
Jenže to ti nic neřekne o tom čísle $2n \choose n$.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#7 09. 08. 2016 19:41

Hertas
Příspěvky: 217
Škola: FJFI CVUT(12-15, bc)
Pozice: student
Reputace:   17 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

Dobře, v tom případě vůbec netuším. Po rozepsání toho kombinačního čísla dostanu $\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)2n}{n!}$ a nic v tom nevidím.

Offline

 

#8 09. 08. 2016 21:16

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4640
Škola: PřF MUNI
Reputace:   219 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

Pokoušíš se dokázat Bertrandův postulát? :)


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#9 09. 08. 2016 21:39

Hertas
Příspěvky: 217
Škola: FJFI CVUT(12-15, bc)
Pozice: student
Reputace:   17 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

ani ne :)

už to tam vidím, největší prvočíslo, jež se v rozkladu celého čísla $\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)2n}{n!}$ nachází, je $2n$ (což pro n > 1 není prvočíslo), tím pádem prvočíslo $p>\sqrt{2n}$ se v jeho rozkladu může nacházet nanejvýš jednou

Offline

 

#10 11. 08. 2016 00:48

check_drummer
Příspěvky: 2683
Reputace:   73 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

↑ Hertas:
Já zkoumám ale bod 1, i když asi to bude podobné. Musíš si říct kolikrát je to p v čitateli a kolikrát ve jmenovateli...


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#11 11. 08. 2016 11:44 — Editoval Brano (30. 08. 2016 10:26)

Brano
Příspěvky: 2542
Reputace:   219 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

bod 1)

Pre $n=1$ tvrdenie plati trivialne, lebo nieje ziadne prvocislo v intervale $(2n/3,n]$.
Pre $n=2$ tvrdenie neplati, lebo $2|\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$.
Pre $n=3,4$ mame v danom intervale jedine prvocislo $p=3$ a lahko overime, ze prislusne kombinacne cisla nedeli.
Pre $n\ge 5$ plati $\frac{2n}{9}>1$ a teda pre $k\ge 2$ plati $p^k\ge p^2>\frac{4}{9}n^2>2n>n$ a teda
$\left[\frac{2n}{p^k}\right]=\left[\frac{n}{p^k}\right]=0$. A kedze $\frac{2n}{3}<p\le n$ tak $1\le\frac{n}{p}<\frac{3}{2}$ a $2\le\frac{2n}{p}<3$, cize $\left[\frac{2n}{p}\right]=2\left[\frac{n}{p}\right]=2$. Z druhej vety dostaneme, ze $p$ sa v $\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}$ nachadza $2-2+0-0+0-0+... = 0$ krat, teda sa tam nenachadza.

bod 2)
pre $k\ge 2$ plati $p^k\ge p^2>2n>n$ a teda $\left[\frac{2n}{p^k}\right]=\left[\frac{n}{p^k}\right]=0$. Dalej mozme napisat $n=kp+r$ kde $r\in[0,p)$ a teda $2n=2kp+2r$ a teda plati $\left[\frac{n}{p}\right]=k$ a $\left[\frac{2n}{p}\right]=2k+\left[\frac{2r}{p}\right]$. Dostaneme teda, ze $p$ sa v $\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}$ nachadza $2k+\left[\frac{2r}{p}\right]-2k = \left[\frac{2r}{p}\right]$ krat, co je bud $0$ alebo $1$.

Offline

 

#12 11. 08. 2016 23:18 — Editoval vanok (12. 08. 2016 10:38)

vanok
Příspěvky: 13364
Reputace:   723 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

poznamka.
Kolega ↑ byk7:, polozil velmi dobru otazku.
Pripominam, ze v knihe Proofs from the books, je dokaz Beltranoveho postulatu ktory vyuziva aj otazky  z ↑ Hertas: ( ktore su tam aj dokazane).
Tiez moze byt poucne precitat
http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/ … late.shtml


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 12. 08. 2016 22:53

check_drummer
Příspěvky: 2683
Reputace:   73 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

Ad 1) Takové p se v tom kombinačním čísel vyskytuje v čitateli i jmenovateli právě 2x a tedy se vykrátí...


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#14 13. 08. 2016 00:17

vanok
Příspěvky: 13364
Reputace:   723 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

Ahoj ↑ check_drummer:
Maly doplnok......
Podrobnejsie, pretoze $\frac{2}{3}n < p \le n$
da $\frac{2}{3}n < p \le n <\frac 43n<2p\le2n=\frac 63 n <3p$.
Co znamena, ze $2n \choose n$ nie je depitelne prvocislom p...... Atd.....

Ale v odkaze co som napisal vcera, je to uz dokazane ( I ked bez podrobnosti)...  Dobru noc.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#15 13. 08. 2016 01:45

Hertas
Příspěvky: 217
Škola: FJFI CVUT(12-15, bc)
Pozice: student
Reputace:   17 
 

Re: Vlastnosti prvočísel

Děkuji vám všem :)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson