Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 10. 2016 19:56

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2492
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   65 
 

Odhad výrazu

Dokažte, že pro všechna přirozená n platí odhad

$
\boldsymbol{2\le\sum_{m=1}^{n}\frac{4}{m+n}\le 3}.
$


Poznámka. Vzhledem k tomu, že očekávám řešení co nejelementárnější, potěší mě, pokud se vyhnete indukci nebo Riemannovým integrálním součtům. Zdá se mi, že dobrý středoškolák by mohl mít radost z řešení, které má geometrickou interpretaci (pro zkušenější asi zcela zřejmou, těžko to tajit).

Viel Spaß...

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Marian)

#2 19. 10. 2016 23:20 — Editoval Pavel (21. 10. 2016 10:37)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1824
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Odhad výrazu

↑ Marian:




Der Beweis is fertig.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#3 22. 10. 2016 21:14 — Editoval Marian (24. 10. 2016 07:50)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2492
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   65 
 

Re: Odhad výrazu

↑ Pavel:

Velmi hezké...



Postup, na který bych asi středoškoláka naváděl, by nebyl nikterak novátorský. Celý důkaz popisovat nebudu (navíc není složitý). Dám však návod ve formě obrázku s několika poznámkami, které umožní zájemcům ze SŠ řešení snadno dokončit.

Nejdříve přepišme nerovnost ekvivalentně na tvar

$\frac{1}{2}\le\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{\frac{m}{n}+1}\le\frac{3}{4}.$

Sumu lze v tomto případě geometricky interpretovat jako součet obsahů obdélníků o délce a výšce

$d=\frac{1}{n},\qquad v=\frac{1}{\frac{m}{n}+1}.$

Tedy délka je konstantní a výška proměnná, přitom parametr $\scriptstyle m$ nabývá hodnot $\scriptstyle 1,\dots ,n$. To symbolizují obdélníky na obrázku.

//forum.matematika.cz/upload3/img/2016-10/63316_tikz_test_11.v2.png

Jak je patrné (a matematicky snadno korektně dokazatelné), součet obsahů všech uvažovaných obdélníků je větší než obsah obdélníku ABCE (pro $\scriptstyle n=1$ dokonce roven), avšak menší než obsah lichoběžníku ABCD. Vypočteme-li obsahy těchto základních rovinných útvarů, získáme ihned hledaný odhad.

Dále je vhodné poznamenat, že u horního odhadu může být neostrá nerovnost změněna na ostrou.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson