Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 11. 2016 23:53

Michal25
Zelenáč
Příspěvky: 3
Škola: gymnázium
Pozice: amatér
Reputace:   
 

Šikmý vrh

Prosím o pomoc so všeobecným  riešením. Na webe sú tisíce príkladov na šikmý vrh, ale som nikde nenašiel
riešenie na toto. Všade sa počíta len  maximálna výška a vzdialenosť dopadu.

Pod uhlom 60 stupňov  rýchlosťou v0 je vrhnutý kameň o hmotnosti m. Aká je jeho okamžitá rýchlosť v1 v momente, keď táto rýchlosť s vodorovnou plochou zviera 25 stupňov a aký je polomer krivosti v tomto bode?
Myslím tým miesto ešte pred dosiahnutím vrcholu paraboly.

Ďakujem.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Michal25)

#2 04. 11. 2016 11:42 — Editoval Anonymystik (04. 11. 2016 11:51)

Anonymystik
Příspěvky: 533
Reputace:   45 
 

Re: Šikmý vrh

Zaveďme standardní souřadnicový systém Oxy. Při šikmém vrhu působí na objekt pouze tíhové zrychlení $\vec{a} = \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = (0, -g)$. Integrací podle času se získá rovnice pro rychlost v čase t: $\vec{v} (t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{a}t + \vec{v_0}$. Rovnici si napišme ve složkách:
$(v_x(t), v_y(t) ) = (v_0 \cdot \cos 60°, -gt + v_0 \cdot \sin 60°)$.

Zadání požaduje, aby pohyb v neznámém čase byl pod úhlem 25°, tedy $(v_x(t), v_y(t) ) = (v_1 \cdot \cos 25°, v_1 \cdot \sin 25°)$ pro neznámou hodnotu parametru $v_1$.

Srovnáním x-ové a y-ové složky rychlosti v obou vyjádřeních dostaneme soustavu rovnic (s parametrem $v_0$) pro neznámé hodnoty $t, v_1$:

$v_0 \cdot \cos 60° = v_1 \cdot \cos 25°$

$-gt + v_0 \cdot \sin 60° = v_1 \cdot \sin 25°$

Vyřešením se najde hledaná hodnota $v_1$ a k ní příslušný čas $t$.

Další integrací dostaneme rovnici pohybu $\vec{r}(t) = \vec{r_0} + \vec{v_0} t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$, kde $\vec{r_0}$ je počáteční poloha a $\vec{v_0}$ počáteční rychlost. Bez újmy na obecnosti lze vzít $\vec{r_0} = (0,0)$. Dosazením poč. podmínek zjistíme kompletní informaci o pohybu. Dosazením t z naší soustavy rovnic získáme polohu v bodě, kdy kámen letí pod úhlem 25°. Pak se už je spočte jen poloměr křivosti trajektorie (to už je čistá geometrie).

Stačí to takhle?


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#3 04. 11. 2016 12:24 — Editoval Honzc (07. 11. 2016 12:18)

Honzc
Příspěvky: 3874
Reputace:   213 
 

Re: Šikmý vrh

↑ Michal25:
1. Parametrické rovnice šikmého vrhu jsou (počátek vrhu je v počátku kss)
   $x(t)=v_{0}t\cos \alpha $
   $y(t)=v_{0}t\sin \alpha-\frac{1}{2}t^{2}$
2. Označme bod, ve kterém chceme počítat jako 1, rychlost v tomto bodě  $v_{1}$ a úhel $\alpha _{1}$
    Platí:
    $\dot {x}_{1}=v_{1x},\,\dot {y}_{1}=v_{1y}$
    $x^{\cdot }=v_{0}\,cos\alpha$
    $y^{\cdot }=v_{0}\,\sin \alpha -gt$
    $\text{tg}\alpha _{1}=\frac{v_{1y}}{v_{1x}}$
    Z tohoto vztahu se spočítá $t$ a dosadí se do vztahu pro $v_{1y}$
    $v_{1}=\sqrt{v_{1x}^{2}+v_{1y}^{2}}$
3. Pro poloměr křivosti platí:
    $r=\frac{\sqrt{( (x^{ \cdot })^{2}+ (y^{\cdot })^{2})^{3}}}{|x^{ \cdot }y^{\cdot \cdot }-x^{\cdot \cdot }y^{ \cdot }|}$
    kde $x^{\cdot }=v_{0}\,cos\alpha ,\,x^{\cdot \cdot }=0$
          $y^{\cdot }=v_{0}\,\sin \alpha -gt,\,y^{\cdot \cdot }=-g$

Online

 

#4 04. 11. 2016 17:01

Michal25
Zelenáč
Příspěvky: 3
Škola: gymnázium
Pozice: amatér
Reputace:   
 

Re: Šikmý vrh

Ďakujem všetkým za odpovede, vyššiu matematiku veľmi neovládam, ale skúsim to zrátať.  Hmotnosť kameňa podľa všetkého nehrá rolu. Tá podmienka rovnania x.y-ovej zložky v0 a v1 mi pomohla, z toho sa už dá vypočítať v1 na túto podmienku som nevedel prísť.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson