Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 31. 12. 2016 09:48

holyduke
Příspěvky: 538
Škola: VUT FSI
Reputace:   51 
 

Komvergence řady

Ahoj,

Jak se prosim určí obor konvergence této řady?

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{x^{k}}{1+x^{2k}}$

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) holyduke)

#2 31. 12. 2016 13:19

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   121 
 

Re: Komvergence řady

ahoj ↑ holyduke:

vzpomeň si na vzoreček pro součet geometrické řady a podmínky, za kterých geometrická řada konverguje.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#3 01. 01. 2017 12:42 — Editoval holyduke (01. 01. 2017 12:43)

holyduke
Příspěvky: 538
Škola: VUT FSI
Reputace:   51 
 

Re: Komvergence řady

↑ Eratosthenes:
Asi jsem mimo, moc nevím, kam tím míříš. Ten výraz je sice trochu podobný součtu NGŘ, ale byl by tam kvocient $-x^{2k}$. Což je asi blbost.

Zkoušel jsem podílové kritérium, ale to mi vyšlo 1 pro všechna x, takže nic moc

Offline

 

#4 01. 01. 2017 12:50

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   121 
 

Re: Komvergence řady

↑ holyduke:

Proč si myslíš, kvocient $-x^{2k}$ je blbost?


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#5 01. 01. 2017 13:00

holyduke
Příspěvky: 538
Škola: VUT FSI
Reputace:   51 
 

Re: Komvergence řady

↑ Eratosthenes:
Protože kvocient nemůže obsahovat "proměnnou" $k$.

$|-x^{2k}|<1$, kde $k=1,2,...$ řešit neumím

Offline

 

#6 01. 01. 2017 13:44

Pritt
Příspěvky: 389
Pozice: student
Reputace:   19 
 

Re: Komvergence řady

↑ holyduke:

Ahoj, mělo by to jít i přes Raabeovo kritérium, respektive zobecněné Raabeovo kritérium.

Offline

 

#7 01. 01. 2017 13:48

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   121 
 

Re: Komvergence řady

↑ holyduke:

tak to já sice umím -

$|-x^{2k}|<1 \Rightarrow |-x|^{2k}<1 \Rightarrow |-x|<1  \Rightarrow |x|<1$

ale to není úplně ono. Ten vzoreček totiž není

$s=\sum \frac {a_0} {1 - q}$

ale

$s=\frac {a_0} {1 - q}$

Takže bych spíš přemýšlel nad

$s=a_0\sum q^k$


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#8 01. 01. 2017 14:20

Xellos
Příspěvky: 523
Škola: MFF CUNI, Bc. (13-16)
Reputace:   36 
 

Re: Komvergence řady

Rozober osobitne pripady $|q|<1,=1,>1$. Vyuzi ze $\frac{q^k}{1+q^{2k}} < \mathrm{min}\left(\frac{q^k}{1},\frac{q^k}{q^{2k}}\right)$.

Offline

 

#9 01. 01. 2017 14:53

holyduke
Příspěvky: 538
Škola: VUT FSI
Reputace:   51 
 

Re: Komvergence řady

↑ Xellos:
Díky, ted už se mi to podařilo dokončit. Zajímalo by mě, jak bys dál pokračoval ↑ Eratosthenes:? Nic kloudného mě nenapadlo.

Offline

 

#10 01. 01. 2017 15:55 — Editoval Eratosthenes (01. 01. 2017 16:12)

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   121 
 

Re: Komvergence řady

↑ holyduke:
$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{x^{k}}{1+x^{2k}}=$

$\sum_{k=1}^{\infty }[ {\frac x {\sqrt[k]{1+x^{2k}}} ] ^k}$

$a_0=1; q=\frac x {\sqrt[k]{1+x^{2k}}}$

$|x|\le 1\Rightarrow |q|=\frac {|a|} b ; |a|\le 1; b>1 \Rightarrow |q|<1$

$|x|>1\Rightarrow |q|=\frac {|x|} {\sqrt[k]{1+x^{2k}}}<\frac {|x|} {x^2}=\frac 1 {|x|} <1$

tj. konverguje pro každé x :-)


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#11 01. 01. 2017 16:20

holyduke
Příspěvky: 538
Škola: VUT FSI
Reputace:   51 
 

Re: Komvergence řady

↑ Eratosthenes:
Díky. Akorát tam máš malou chybu, protože pro $x=1; x=-1$ řada diverguje.

Offline

 

#12 01. 01. 2017 17:19

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   121 
 

Re: Komvergence řady

↑ holyduke:

Jasně - tam není splněna nutná podmínka konvergence, což mi nějak ušlo. Holt - chybička se vloudí ...


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson