Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 01. 01. 2017 21:30

Exille
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Matice zobrazení

Zdravím, potřeboval bych poradit ohledně matice zobrazení z alfa do alfa. Nevím jak ze zadání příjdu na to, jak přesně vypadá.

//forum.matematika.cz/upload3/img/2017-01/02365_Screenshot_1.png

Vím, jaký je postup u zbytku příkladu, ale nevidím, jak vytvořit tuto matici.

//forum.matematika.cz/upload3/img/2017-01/02417_Screenshot_2.png

Offline

 

#2 02. 01. 2017 08:06 — Editoval vanok (02. 01. 2017 10:02)

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: Matice zobrazení

Anoj ↑ Exille:,
Tvoja matica v tvojom texte je matica tvojej projekcie ak baza $\alpha $ je vybrana napr. tak, ze je  je vytvorena normalnym unitarnym vektorom $ \vec n $ na danu rovinu a dvomi ortonornalnymi vektormy  v danej rovine .
( co je inspirovane definiciou danej projekcie)

No vsak najrychlejsie ( zda sa mi) je postupovat napriklad takto.

Sme v $\Bbb R ^3$, a oznacme danu rovinu $F=\{( x_1,x_2,x_3)|2x_1-x_2+2x_3=0\}$
Ortogonal roviny $F$ je priamka$P=F^\perp =<\{(2,-1,2)\}>$, ktorej ortonormalna baza je $  ( \vec n\ )$, kde $\vec n=\frac 13(2,-1,2)$.
Preto $ p_P$ ortogonalna projekcia na priamku $P$ je taka, ze pre kazdy vektor
$\vec v= (x_1,x_2,x_3) \in \Bbb R ^3 ; p_P( \vec v)= < \vec n| \vec v>\vec n=\frac {2x_1-x_2+2x_3}9$
( pochopitelne, znacim ako je zvykom, takto  $<.|.>$ scalarny sucin)
Akoze, $\varphi= Id_{\Bbb R ^3} - p_P$
Tak teraz ti necham radost ukoncit dane cvicenie.(3 riadky stacia!)

( pripominam, ze na konci 60 tich rokov minuleho storocia, = doba tzv. "Modernej matematiky", sa taketo cvicenia robili v skoro celej Europe na konci strednej skoly ... no teraz iste az v prvom rocniku VS)

Pochopitelne, je mozne riesit cvicenie aj inac, ako napr vdaka pociatocnej poznamke.

A aby som nezabudol, vsetko najlepsie do noveho roku.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 02. 01. 2017 12:58

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: Matice zobrazení

Pre tych co to zaujima, pridam postup aj na tu druhu metodu o ktorej som vyssie pisal.
Preto najdeme jednu orthogonalnu bazu priestoru $F$
Na to veznime najprv jednu jeho lubovolnu bazu lubovolnu , napr. $(\vec c_1, \vec c_2)$, kde $ \vec  c_1=(1,2,0); \vec c_2=(0,1,2)$ a orthogonalizujme ju na $( \vec b_1,\vec b_2 )$, kde $\vec b_1=\frac 1 {||\vec c_1||}\vec c_1$ a $ \vec b_2 =\frac 1{||\vec d_2||}\vec d_2$ kde $\vec d_2=\vec c_2-<\vec b_1|\vec c_2>\vec b_1$.
Potom pre kazdy vector $ \vec v \in \Bbb R ^3 ; \varphi(\vec v)=<\vec b_1|\vec v>\vec b_1+<\vec b_2|\vec v>\vec b_2$

Necham vas urobit vypocty, a overit, ze vam to da pochopitelne ten isty vysledok predosla metoda.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 02. 01. 2017 19:14 — Editoval Eratosthenes (02. 01. 2017 19:15)

Eratosthenes
Příspěvky: 1912
Reputace:   121 
 

Re: Matice zobrazení

Ahoj ↑ Exille:,

já přidám ještě třetí možnost:

Hledanou matici označme M. Kolmá projekce do roviny je projekce ve směru jejího normálového vektoru, v našem případě ve směru n = (2;-1;2). Tento vektor se promítne na vektor nulový, tj. platí

o = M.n     (1) 

Dále najdeme dva libovolné lineárně nezávislé směrové vektory r, s dané roviny - ty jsou kolmé na n, takže je najdeme z podmínek <r;n>=<s;n>=0. Tyto vektory se zobrazí samy na sebe, tj.

r = M.r     (2)

s = M.s     (3) 

Z rovnic (1) (2) (3) obdržíme maticovou  rovnici

(o r s) = M . (n r s)

a hledaná matice je  M =(o r s).(n r s)^(-1)

PS: Pro přehlednost jsem vynechal značky transpozic - o, r, s, n jsou tedy sloupce a (o r s), (n r s) čtvercové matice sestavené z těchto sloupců.


Nejraději chodím bos, když mé boty uvíznou v řiti nějakého hňupa.

Offline

 

#5 02. 01. 2017 21:46

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: Matice zobrazení

Pozdravujem ↑ Eratosthenes:,
Ano dal si nam tu peknu intuitivnu metodu.
Mozes upresnit matice prechodu do stardantnej baze?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson