Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 04. 2017 23:13

souko
Příspěvky: 41
Reputace:   
 

Důkaz dělitelnosti 7mi

Ahoj,
úkolem je dokázat, že pro libovolné přirozené n je $37^{n+2}+16^{n+1}+23^{n}$ dělitelné 7mi.
Zkoušel jsem to rozkládat všelijak, ale prostě furt mě nenapadá, co s tim, abych obecně dokázal, že to platí.

Prosím, jestli by někoho napadlo co s tím.

Díky

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) souko)

#2 06. 04. 2017 05:09

Jj
Příspěvky: 7620
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   537 
 

Re: Důkaz dělitelnosti 7mi

↑ souko:

Zdravím.

Řekl bych, že se dělitelnost výrazu ukáže po úpravě

$37^{n+2}+16^{n+1}+23^{n}=(35+2)^{n+2}+(14+2)^{n+1}+(21+2)^{n}$

a umocnění uvedených dvojčlenů podle binomické věty.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#3 06. 04. 2017 08:19 — Editoval vanok (06. 04. 2017 12:40)

vanok
Příspěvky: 13414
Reputace:   724 
 

Re: Důkaz dělitelnosti 7mi

Ahoj ↑ souko:,
Alebo este mozes pracovat mod 7
Tvoj vyraz da tak
$2^{n+2}+2^{n+1}+2^n =7*2^n=0, \mod 7$
(Pozor: treba vsetko vysvetlit a doplnit vsetki etapy dokazu !)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 06. 04. 2017 13:13

souko
Příspěvky: 41
Reputace:   
 

Re: Důkaz dělitelnosti 7mi

Děkuji moc, už to mám. Nakonec jsem to dělal postupově dobře jen jsem furt násobil dvojku na 2,4,6 a ne 2,4,8. Tak ještě jednou díky.

Offline

 

#5 06. 04. 2017 21:58

check_drummer
Příspěvky: 2689
Reputace:   73 
 

Re: Důkaz dělitelnosti 7mi

Ahoj, ještě pro úplnost přidám důkaz indukcí. Takové se zpravidla uvádějí ve cvičeních na indukci pro SŠ.
indukční krok:
$37^{n+3}+16^{n+2}+23^{n+1}=37.37^{n+2}+16.16^{n+1}+23.23^{n}=(35+2).37^{n+2}+(14+2).16^{n+1}+(21+2).23^{n}=$
$=(35.37^{n+2}+14.16^{n+1}+21.23^{n})+2.(37^{n+2}+16^{n+1}+23^{n})$
kde první závorka je dělitelná 7, protože každý její člen je dělitelný 7 a druhá závorka je dělitelná 7 na základě indukčního předpokladu.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson