Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 04. 2017 20:53 — Editoval PlusPlusPlus (15. 04. 2017 21:38)

PlusPlusPlus
Příspěvky: 109
Škola: SPŠS
Pozice: brzy důchodce
Reputace:   
 

Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

Ahoj,

měl bych jeden dotaz týkající se dokazování.

Chci dokázat, že pro nenulové záporné číslo $ \forall a \in R^{-} \wedge a \ne 0, $ je $ a^0 = 1$. Pomocí limity, je mě to vcelku jasné.

Volím např: $\lim_{x\to\infty } a^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to0 } a^{x} = \lim_{x\to0 } (-1)^{x}*|a|^{x} = \lim_{x\to0 } (e)^{\pi ix}*|a|^{x} $

Nyní rozvinu do řady, první člen dám před řadu a vypočítám limitu :
$ 
\lim_{x\to0} \left(   1+\sum_{n=1}^\infty   \frac{(\pi ix)^n}{n!} \right) * \left(   1+\sum_{n=1}^\infty   \frac{(ln|a|*x)^n}{n!} \right) = 1
$

Nyní formuluju dotaz: Rozumím tomu dobře tak, že dokázat to jde pouze limity a infinitez. počtu, nebo existuje i jiný způsob?

Děkuji za reakci
 
P.K.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) PlusPlusPlus)

#2 15. 04. 2017 21:03 — Editoval Al1 (15. 04. 2017 21:03)

Al1
Příspěvky: 7418
Reputace:   520 
 

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

↑ PlusPlusPlus:

Zdravím,

nepožaduješ důkaz pro nenulové záporné číslo a? Proč potom $ a \in R^{-}_{0}$

Offline

 

#3 15. 04. 2017 21:40

PlusPlusPlus
Příspěvky: 109
Škola: SPŠS
Pozice: brzy důchodce
Reputace:   
 

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

↑↑ Al1:

Ahoj,
už jsem to opravil.

Offline

 

#4 15. 04. 2017 21:56

misaH
Příspěvky: 10865
 

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

Offline

 

#5 15. 04. 2017 22:29

PlusPlusPlus
Příspěvky: 109
Škola: SPŠS
Pozice: brzy důchodce
Reputace:   
 

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

↑↑ misaH:

Ahoj,
Jak dokazuješ poslední rovnost? Myslím tím $a^0=1$ Na to se přesně ptám.

Offline

 

#6 15. 04. 2017 22:53

misaH
Příspěvky: 10865
 

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

$\frac aa=a^{1-1}=a^0=1$

Offline

 

#7 15. 04. 2017 23:28

check_drummer
Příspěvky: 2689
Reputace:   73 
 

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

↑ PlusPlusPlus:
Ahoj, a co to znamená $a^0$? Abychom věděli co s tím, je nutno tento pojem definovat. A navrhuji definovat ho roven 1.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#8 15. 04. 2017 23:46

PlusPlusPlus
Příspěvky: 109
Škola: SPŠS
Pozice: brzy důchodce
Reputace:   
 

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

↑↑ misaH:
Ahoj,
tak to je pěkná ostuda hodna první třídy. Pořád koukám doprava, a ne úplně na levou stranu. Už mě z těch limit hrabe a používám je tam, kde nejsou potřeba. Děkuji. Dám si chvíli pauzu.
P.

Offline

 

#9 16. 04. 2017 15:06

check_drummer
Příspěvky: 2689
Reputace:   73 
 

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

Ahoj, slabina je dle mého v této rovnosti:

misaH napsal(a):

$\frac aa=a^{1-1}$

Jak to, že platí? (Ona platí, ale ukáže se, že $a^0$ je nutno definovat nikoli spočítat, tj. vlastně se uvidí, že téma řeší důkaz axiomu.)


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#10 23. 04. 2017 14:25

PlusPlusPlus
Příspěvky: 109
Škola: SPŠS
Pozice: brzy důchodce
Reputace:   
 

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

↑ check_drummer:
Ahoj,
proč by se to nedalo spočítat? $\frac aa=1$

Offline

 

#11 23. 04. 2017 15:10

check_drummer
Příspěvky: 2689
Reputace:   73 
 

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

↑ PlusPlusPlus:
Ahoj,$\frac aa=1$ platí. Ovšem já psal jiný vztah - a sice $\frac aa=a^{1-1}$ - ten jak píšeu výše, také platí, ale k jeho důkazu je potřeba vědět, že $ a^0 = 1$ - resp. jsem o tom přesvědčen.
Druhá věc je, jak rovněž píšu výše, že je v tomto vládně snaha zjistit, čemu se rovná $a^0$, ale nikde není uvedeno, jak je $a^0$ definována. Pokud pojem není definován, těžko pro něj neco počítat...


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#12 23. 04. 2017 23:24 — Editoval PlusPlusPlus (23. 04. 2017 23:28)

PlusPlusPlus
Příspěvky: 109
Škola: SPŠS
Pozice: brzy důchodce
Reputace:   
 

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

↑ check_drummer:
Ahoj,
Jestli Tě to moc neobtěžuje, mohl by jsi svůj příspěvek více rozvinout? Tedy dost dobře nerozumím tomu, jestli se $a^0=1$ bere jako axiom, nebo se výraz nějak dokazuje? A jak?
Mě napadá důkaz pouze pomocí limity, to jsem psal již na začátku tohoto vlákna $\lim_{x\to0 } a^{x}$. To však není univerzální, protože se dá napsat exponent tak, že půjde limitně k nule, ale výsledek limity bude -1. Potom by tu byl problém s identitou. Jednou je výsledek limity 1, podruhé -1. Pak by nebyl problém tvrdit o výraze $a^0$ cokoliv. Proto je nutné zavést definici, co je tím výrazem $a^0$ vlastně míněno.
Téma nechávám otevřené. Za Vaše názory předem děkuji.
P.

Offline

 

#13 25. 04. 2017 21:37

check_drummer
Příspěvky: 2689
Reputace:   73 
 

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

↑ PlusPlusPlus:
Ahoj, přesně tak, než chceš o nějakém pojmu něco tvrdit, musíš ho definovat. Na druhou stranu - je dobré si definici rozmyslet, aby zapadala do stávající koncepce. Např. pro m,n přirozená víme, že platí $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ (to lze snadno dokázat indukcí) a pokud bychom chtěli aby tento vzorec platil i pro m,n celá, tak speciálně pro m=-n musí platit $a^{0}=a^{-n+n}=a^{-n}\cdot a^n=1$. Pozor však, ten poslední sled rovností není důkaz, že $a^0=1$, ale je to odůvodnění toho, že je rozumné definovat $a^0$ jako 1 (musíme předpokládat a nenulové).
Podobné postupy se často používají - Ty jsi ho vlastně také použil, kdy jsi $a^0$ chtěl dodefinovat pomocí limity, to je také celkem běžná praxe. Ale opakuji - není to důkaz, je to jen odůvodnění toho, že je rozumné ten nový pojem (výraz) definovat právě tak.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#14 26. 04. 2017 15:17

PlusPlusPlus
Příspěvky: 109
Škola: SPŠS
Pozice: brzy důchodce
Reputace:   
 

Re: Způsob dokazování - číslo na nultou = 1

↑ check_drummer:

Rozumím tomu, dík za výklad.
P.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson