Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 11. 05. 2009 18:54

M4ZZY
Zelenáč
Příspěvky: 2
Reputace:   
 

Lagrangeův multiplikátor

Dobrý den. Mohl by mi prosím vás někdo lajcky vysvětlit co to sou ty lagrangeovy multiplikátory? Vím že slouží k výpočtu vázaných extrémů ale nevím proč to tak je. Díky moc

Offline

 

#2 11. 05. 2009 20:47

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2495
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   66 
 

Re: Lagrangeův multiplikátor

↑ M4ZZY:
Možná pomůže toto.

Offline

 

#3 11. 05. 2009 21:52

M4ZZY
Zelenáč
Příspěvky: 2
Reputace:   
 

Re: Lagrangeův multiplikátor

↑ Marian:
No bohhužel ani ne :-D já nejsem moc nadaný matematik a v těch definicích se moc nevyznám v češtině natož v angličtině. Ale děkuji za snahu :)

Offline

 

#4 12. 05. 2009 15:54 — Editoval Rumburak (12. 05. 2009 17:08)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8612
Reputace:   497 
 

Re: Lagrangeův multiplikátor

Ukážeme si to na funkcích dvou proměnných.
Mějme křivku o rovnici 

(1)                   g(x,y) = 0

a funkci  z = f(x,y) , která v bodě W = [u, v]  křivky (1) nabývá vzhledem k této křivce svého lokálního extrému f(W)
a nechť  jsou splněny i další předpoklady věty o L.m.  Dejme tomu, že rovnicí

(2)                  f(x,y) = f(W)

je určena křivka - tato pak rovněž prochází bodem W.  Rovnice

                               grad f(W) = k* grad g(W)

doslova říká, že normálový vektor křivky (2) v bodě W je rovnoběžný s normálovým vektorem křivky (1) v tomtéž bodě.
Takže obě křivky mají v bodě W společnou tečnu a tudíž nenastává situace, aby se křivky protínaly pod nějakým nenulovým úhlem.
Taková situace by totiž nutně znamenala, že v nějakém okolí bodu W je po jedné straně křivky (2) (např. nalevo od ní)  f(x,y) > f(W),
zatímco po její druhé straně (tedy napravo od ní)  f(x,y) < f(W),  takže pokud by se bod [x,y] pohyboval po křivce (1), pak
přechodem přes bod W by výraz f(x,y) - f(W) měnil znaménko, což je ve sporu s předpokladem, že v bodě W nastává extrém.

Toto je pouze názorná idea, provést korektní důkaz obecné věty do technických podrobností není úplně snadné.

Offline

 

#5 28. 05. 2018 11:06 — Editoval m.sey (28. 05. 2018 11:06)

m.sey
Příspěvky: 32
Škola: IES FSV UK (17-20, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Lagrangeův multiplikátor

Rád bych se ještě zeptal ohledně začátku důkazu: předpokládáme, že první podmínka (nulovost gradientu) neplatí, tedy chceme aby platila druhá podmínka: $\frac{\partial f}{\partial x}(\tilde x,\tilde y)+\lambda \frac{\partial g}{\partial x}(\tilde x,\tilde y)=0$ Předpokládáme tedy nenulovost $\frac{\partial g}{\partial y}(\tilde x,\tilde y)$.

Pak nerozumím tvrzení, že pokud by tato parciální derivace byla nulová, pak by muselo být $\frac{\partial g}{\partial x}(\tilde x,\tilde y)\not =0$ a celý další postup by byl stejný až na výměnu $x$ a $y$.

Offline

 

#6 05. 06. 2018 13:50

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8612
Reputace:   497 
 

Re: Lagrangeův multiplikátor

↑ m.sey:
Ahoj. Dděkuji za bodík.

Tvému dotazu jsem ale, přiznám se,  neporozumněl.
Šlo by to zformulovat komplet  a co možná nejpřesněji?

Offline

 

#7 16. 07. 2018 06:14 Příspěvek uživatele Twor21 byl skryt uživatelem jelena. Důvod: OT

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson