Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 28. 05. 2017 18:18

Ondrik_B
Příspěvky: 91
Škola: BIGY ZR
Pozice: student
Reputace:   
 

Kombinatorická úloha. Najděte hodnotu součtu.

Ahoj, řeším tento příklad.

Najděte hodnotu součtu

$\sum_{k=0}^{n} k {n \choose k}^2$

V autorskym reseni je krok jemuz nerozumim:
$n\sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}{n \choose n-k} = n {2n-1 \choose n-1}$

Myslel jsem ze byla pouzita tato identita, ale nejak mi tam nesedi:
$\sum_{k=0}^{n} {p \choose k}{q \choose n-k} =  {p+q \choose n}$

Napada vas neco?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Ondrik_B)

#2 29. 05. 2017 13:44

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8618
Reputace:   497 
 

Re: Kombinatorická úloha. Najděte hodnotu součtu.

↑ Ondrik_B:
Ahoj.

Rovnost

     $n\sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}{n \choose n-k} = n {2n-1 \choose n-1}$

je zřejmě ekvivalentní s

     $\sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}{n \choose n-k} = {2n-1 \choose n-1}$.

Offline

 

#3 30. 05. 2017 07:50

Ondrik_B
Příspěvky: 91
Škola: BIGY ZR
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Kombinatorická úloha. Najděte hodnotu součtu.

↑ Rumburak:

A z čeho to plyne?

Offline

 

#4 30. 05. 2017 12:28

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8618
Reputace:   497 
 

Re: Kombinatorická úloha. Najděte hodnotu součtu.

První rovnost dostaneme vynásobením druhé rovniosti číslem $n$, o němž se v úloze
patrně předpokládá, že je nenulové, nemá-li jít o úlohu triviální.

Offline

 

#5 31. 05. 2017 08:14

Ondrik_B
Příspěvky: 91
Škola: BIGY ZR
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Kombinatorická úloha. Najděte hodnotu součtu.

↑ Rumburak:

Patrně jsem se špatně vyjádřil. To vynásobení je mi jasný. Není mi jasný proč se ta suma rovná tomu kombinančímu číslu.

Offline

 

#6 31. 05. 2017 09:14 — Editoval jarrro (31. 05. 2017 09:18)

jarrro
Příspěvky: 4981
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   282 
Web
 

Re: Kombinatorická úloha. Najděte hodnotu součtu.

Rovnosť $\sum_{k=0}^{m} {p \choose k}{q \choose m-k} =  {p+q \choose m}$
platí, pretože ak uvažujeme dve disjunktné množiny s počtom prvkov p resp. q, tak m-prvkovú podmnožinu ich zjednotenia dostaneme tak, že vyberieme niekoľko prvkov z p-prvkovej množiny a zvyšok z q- prvkovej množiny.
Rovnosť
$\sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}{n \choose n-k} = {2n-1 \choose n-1}$
Je špeciálny prípad vyššie uvedenej rovnosti pre
$p=n-1, q=n, m=n-1$
Lepšie to vidno ak sa uváži, že$n-k=\(n-1\)-\(k-1\)$
A tiež $\(1\leq k\leq n\)\Leftrightarrow\(0\leq k-1\leq n-1\)$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#7 31. 05. 2017 09:23

Ondrik_B
Příspěvky: 91
Škola: BIGY ZR
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Kombinatorická úloha. Najděte hodnotu součtu.

↑ jarrro:

Aha. Díky. Už to vidím :)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson