Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 04. 10. 2017 10:49

AterCZ
Příspěvky: 158
Pozice: Student
Reputace:   
 

Počítání kombinatorických čísel

Ahoj,
mám problém s výpočtem kombinatorické čísla, kdy n je menší než k. Mohl bych poprosit o postup, jak například vypočítám K(5,4)? Dle výsledků to má vyjít 56, mně vycházely čísla menší než 1.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) AterCZ)

#2 04. 10. 2017 11:42 — Editoval Rumburak (04. 10. 2017 15:11)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8618
Reputace:   497 
 

Re: Počítání kombinatorických čísel

↑ AterCZ:

Ahoj. Pokud máš na mysli kombinační čísla $n \choose k$ ,  kde $n, k$ jsou celá nezáporná čísla
taková, že $k \le n$ , potom

                                ${n \choose k} := \frac{n!}{k! (n-k)!}$ ,

kde $0! := 1$ , $(m + 1)! := (m + 1)\cdot m!$  (což je rekurentní definice pro faktoriál), např. 

$1! = 1\cdot 0! = 1\cdot 1 = 1$, $2! = 2\cdot 1! = 2\cdot 1 = 2$, $3! = 3\cdot 2! = 3\cdot 2 = 6$   atd.) ,

stručně tedy  $n! = 1\cdot 2 \cdot ... \cdot n$ , např.  $4! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4$ .

V učebnici kombinatoriky to určitě najdeš.

EDIT.

Význam kombinačních čísel:  Za výše uvedených předpokladů o číslech $n, k$ platí, že
množina mající přesně $n$ prvků má k-prvkové podmnožiny, jejichž počet je ${n \choose k}$.

PS. Ale podle toho, co píšeš, máš možná na mysli něco jiného. Co je to K(n, k) ?
Jak je definováno ?

Offline

 

#3 04. 10. 2017 15:40

AterCZ
Příspěvky: 158
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Počítání kombinatorických čísel

↑ Rumburak: děkuji moc za pečlivou odpověď.
Konkrétně se snažím přijít na tento příklad:

V samoobsluze mají čtyři druhy kávy v balíčcích po padesáti gramech. Určete, kolika způsoby lze koupit 250 gramů kávy, jestliže
a) balíčků každého druhu mají dostatečný počet;
b) od dvou druhů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích.

Výsledek

Výsledky:
a) K'(5, 4) = 56
b) K'(5, 4) − 2 = 54

Myslel jsem si, že K'(5, 4) znamená $(\frac{4}{5})$, což ale je tedy dle Tvého vysvětlení ale blbost. Mohl bych poprosit o osvětlení, jak se tady dopracovali k výsledku?

Offline

 

#4 04. 10. 2017 15:50

misaH
Příspěvky: 10842
 

Re: Počítání kombinatorických čísel

↑ AterCZ:

No - ak sa nemýlim, K` sú kombinácie s opakovaním...

Offline

 

#5 05. 10. 2017 13:27 — Editoval Rumburak (05. 10. 2017 13:36)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8618
Reputace:   497 
 

Re: Počítání kombinatorických čísel

↑ AterCZ:

Kolegyně ↑ misaH: Ti sdělila, že zde nutno pracovat s kombinacemi s opakováním.
Podívejme se na případ a) , který má pro pochopení příslušné látky základní význam.

Máme 4 druhy kávy a chceme z nich nakombinovat 5 balíčků. Ve zvolené kombinaci
se jednotlivé druhy kávy mohou opakovat (dokonce je to nutnost, protože jinak
by bylo možno koupit nejvýše 4 x 50 = 200 g). Jde tedy o kombinace páté třídy
za čtyř  prvků s opakováním. Počet kombinací k-té třídy z n prvků s opakováním je
roven číslu

                                $K'(n, k)  = {{n + k - 1} \choose k}$.

Až najdu odkaz na důkaz, doplním ho sem.

Případ b)  je poněkud komplikovanější a tudíž náročnější na rozbor, ale jinak v něm
po teoretické stránce nic nového není.

EDIT. Slibovaný důkaz je zde ↑↑ Rumburak:. Ale používám tam poněkud jiné značení.

Offline

 

#6 05. 10. 2017 13:45

AterCZ
Příspěvky: 158
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Počítání kombinatorických čísel

↑ misaH:↑ Rumburak: děkuji moc za osvětlení, měl jsem v tom guláš. Na důkaz se podívám.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson