Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#26 26. 02. 2018 13:25 — Editoval BobMarley (26. 02. 2018 14:29)

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Derivace konstanty

↑↑ Rumburak:
Dobře, tj. identickou nulu v čitateli dělíme nekonečně malým číslem, a proto se lze neurčitému výrazu vyhnout.
Pokud se mu nevyhneme, pak další způsob, jak dojít k limitě (neuvažujeme, že čitatel je prostě nula), je využití definice limity.

Ale co je to tedy neurčitý výraz?
Jsou to tady takové výrazy, jejichž hodnota není zřejmá bez bližší znalosti funkce [Krynicky]?

Kdybych si vzal Vaši myšlenku a uvažoval funkci sgn(x) a počítal limitu pro x jdoucí k 0.

Prvním krokem je zkusit dosazení (věta o limitě spojité funkce). V mém případě je tedy sgn(0) = 0. Limita v bodě 0 ovšem není 0, protože jsem nesplnil předpoklad věty o limitě spojité funkce a limita se tedy nerovná funkční hodnotě.

Jedná se tedy o neurčitý výraz?

Jak mám vypočítat limitu, pokud nechceme využít graf funkce (zde to je jednoduché, ale v jiným případech to je složitější). Mám počítat jednostranné limity?

Jak poznám, že to, co jsem vypočítal, není tedy limitou funkce v bodě? Nemá tedy prvním krokem k výpočtu limity být ověření, zda je funkce v okolí limitního bodu definována, případně, jestli je v bodě spojitá? Stejně mě tyto úvahy vedou k tomu, abych před výpočtem limity, kreslil graf dané funkce, ale to může být v některých případech složité.

V případě Marianovy limity $lim_{x \rightarrow 0}\sqrt{x^4-x^2}$ jsem si také musel nakreslit graf (nebo alespoň určit definiční obor), abych mohl limitu počítat.

Offline

 

#27 26. 02. 2018 15:27 — Editoval Rumburak (27. 02. 2018 11:11)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8611
Reputace:   497 
 

Re: Derivace konstanty

↑ BobMarley:

Vyjděme z předpokladu, že Tvé otázky jsou očíslovány od 1 do 7.

Ad 1.  Máme-li se stát dobrými počtáři limit, znát samotnou definici limity k tomu nestačí
Dokonce lze říci, že zjišťovat limitu pomocí definice limity je ten nejméně efektivní způsob.
Je potřeba též znát přinejmenším příslušné věty o limitách a procvičováním si vypěstovat
zkušenost. Ve složitějších případech nutno mít i další znalosti z matematické analýzy.


Ad 2. Mohlo by se to tak říci. Ale jak jsem už dnes napsal jinde, "neurčitý výraz" je pojem
patřící spíše do matematického metajazyka než do odborného jazyka.  V matematické praxi
rozlišujeme několik úrovní jazyka:

- formální nebo též symbolický jazyk, vyjadřující pomoci zavedených symbolů, jakými jsou
např. symboly $5 , \sqrt{3},  3 + 2 = 5,  \sin 0 > -1 , ... $ pro matematické pojmy a
výroky o nich;

-odborný jazyk,  čož je běžný jazyk obohacený o matematické pojmy a soustředící se na
přesné formulace matematických definic a vět ;

- metajazyk matematiky,  což je jazyk, jímž hovoříme třebas i nezávazně o matematice a
jejích pojmech jako o čemkoliv jiném ,   např. 

         "Kvadraticku rovnici jsme probírali už na SŠ.", 
         "Tu definici limity funkce jsem už pochopil.",
         "Integrál je důležitým nástrijem fyziky. " atd.
Nebo typičtější příklad:  Místo toho, bychom přesně citovali příslušnou větu z teorie řad, řekneme
stručněji "Cauchyovo kriterium konevence je silnější než d'Alembertovo .

Ad 3.  Hodnota limity funkce v daném bodě obecně nijak nesouvisí s funkční hodnotou
v tomto bodě. Případ, kdy jsou obě hodnoty konečné a jsou si rovny, znamená, že jde o
funkci spojitou v daném bodě. Finkce signum ovšem v bodě 0 spojitá není. Doporučuji
nalistovat si někde její definici a podle ní si načrtnout její graf.

Pokračování případnš zítra.

Offline

 

#28 26. 02. 2018 20:28

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2495
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   66 
 

Re: Derivace konstanty

↑↑ Rumburak:

Beru na vědomí tvou reakci a v podstatě souhlasím s uvedenými skutečnostmi. Díky za tvůj čas.

Offline

 

#29 26. 02. 2018 21:34

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2124
Reputace:   66 
 

Re: Derivace konstanty

Marian napsal(a):

BobMarley napsal(a):

↑↑ Rumburak:
Máte pravdu, našel jsem na anglické wikipedii definici od Moigna, který říká něco v tomto smyslu:
Pokud po dosazení do předpisu limity vznikne výraz, pak tento výraz je neurčitý, jestliže neposkytuje dostatek informací k určení limity.

A v případě derivace konstanty, dostatek informací k určení limity máme. Proto se nejedná o neurčitý výraz.
Souhlasíte?


Už dlouho jsem horší radu pro výpočet limit nečetl (samozřejmě za to neodsuzuji tebe). To poukazuje především na fakt, že informace na Wikipedii je nutno brát se značnou rezervou.

Mě to přijde skoro správné (když se pár slov trochu upraví). Tj:

Pokud po dosazení (toho čísla x, ve kterém máme počítat limitu funkce) dostaneme výraz, jehož hodnotu nelze určit, je to neurčitý (= neurčitelný) výraz.

Vlastně to s limitou nesouvísí. Limita je až to, že hodnotu našeho (neurčitelného) výrazu dokážeme určit podle toho, jak funkce vypadá v okolí bodu x. Když máme teda štěstí. Jenže tím ta "neurčitost" nezmizí, jen jsme z "nemožnosti určit" dostali "nemožnost jednoznačně určit".

Když štěstí nemáme, no tak limitu prostě neurčíme. Jistě existují myriády nějakých vzorců, které vypadají, že by to mohly být funkční předpisy, a v nějakém bodě x nám dají "neurčitý" výraz. A jeho hodnotu nelze určit ani podle tvaru funkce v okolí x nebo to v okolí x vůbec není funkce. Ale to dopředu nevíme (jen ve škole asi ano, tam snad vždy dostaneme k počítání nějakou "rozumnou" funkci.


Já bych tedy neviděl až takový problém v tom, co že to vlastně je "neurčitý výraz" jako spíš v tom, že o nějakém vzorci děláme automaticky předpoklady, které nemusí platit - jako že ta limita existuje, nebo že v okolí vyšetřovaného bodu představuje vztah nějakou "rozumnou" funkci (nebo prostě jen funkci). Nic z toho nemusí být pravda. A ta neurčitost (neurčitelnost) výrazu může klidně zahrnovat i tyhle varianty. Proč by nemohla.

Offline

 

#30 26. 02. 2018 21:46 — Editoval BobMarley (26. 02. 2018 21:49)

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Derivace konstanty

↑ MichalAld:
Jenže tím ta "neurčitost" nezmizí, jen jsme z "nemožnosti určit" dostali "nemožnost jednoznačně určit".

Mohl byste to trochu rozvést, prosím?

Já bych tedy neviděl až takový problém v tom, co že to vlastně je "neurčitý výraz" jako spíš v tom, že o nějakém vzorci děláme automaticky předpoklady, které nemusí platit - jako že ta limita existuje, nebo že v okolí vyšetřovaného bodu představuje vztah nějakou "rozumnou" funkci (nebo prostě jen funkci). Nic z toho nemusí být pravda. A ta neurčitost (neurčitelnost) výrazu může klidně zahrnovat i tyhle varianty. Proč by nemohla.

Tím myslíte například zmíněnou funkci $\sqrt{x^4-x^2}$?

Offline

 

#31 26. 02. 2018 21:53

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2124
Reputace:   66 
 

Re: Derivace konstanty

↑ BobMarley:
No, nemyslel jsem tím nic speciálního, jen to, že když máme výraz třeba 0/0, který nám matematika (algebra ? - nevím přesně, do kterého oboru spadá dělení čísel) nedokáže určit, jakou má hodnotu, tak tím, že spočítáme limitu nějaké funkce v bodě, kde "dává" neurčitý výraz hodnotu tohoto výrazu nezjistíme (protože jiná funkce bude mít v bodě kde "dává neurčitý výraz" jinou hodnotu limity (jinou hodnotu neurčitého výrazu).
Spíš tedy tak, že hodnotu "neurčitého výrazu" dokážeme určit, jenže s každou funkcí ji určímě nějak jinak.

Offline

 

#32 26. 02. 2018 22:02 — Editoval BobMarley (26. 02. 2018 22:08)

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Derivace konstanty

MichalAld napsal(a):

↑ BobMarley:
No, nemyslel jsem tím nic speciálního, jen to, že když máme výraz třeba 0/0, který nám matematika (algebra ? - nevím přesně, do kterého oboru spadá dělení čísel) nedokáže určit, jakou má hodnotu, tak tím, že spočítáme limitu nějaké funkce v bodě, kde "dává" neurčitý výraz hodnotu tohoto výrazu nezjistíme (protože jiná funkce bude mít v bodě kde "dává neurčitý výraz" jinou hodnotu limity (jinou hodnotu neurčitého výrazu).
Spíš tedy tak, že hodnotu "neurčitého výrazu" dokážeme určit, jenže s každou funkcí ji určímě nějak jinak.

Tj. : Mějme limitu $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}} ="0/0" = \infty
$

a například $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} ="0/0" = 1
$

tj. hodnota neurčitého výrazu není daná jednoznačně.

Tj. hodnotu jsme určili, ale pro každou funkci jinak.

Offline

 

#33 26. 02. 2018 22:09

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2124
Reputace:   66 
 

Re: Derivace konstanty

BobMarley napsal(a):

Tím myslíte například zmíněnou funkci $\sqrt{x^4-x^2}$?

No jo, třeba, ale určitě lze vymyslet i mnohem exotičtější definice.

Třeba mě napadá taková hezká funkce,

$y=\sin \frac{1}{x}$

Jakou to má limitu pro x->0 ?

Offline

 

#34 26. 02. 2018 22:13

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2124
Reputace:   66 
 

Re: Derivace konstanty

Případně, ať to máme i s neurčitým výrazem...

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x}\sin \frac{1}{x} ="0/0"=?$

Offline

 

#35 26. 02. 2018 22:23 — Editoval BobMarley (26. 02. 2018 22:34)

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Derivace konstanty

↑ MichalAld:
neexistuje.

V tom druhém případě x/x = 1 (jedná se o neurčitý výraz, který jsme ale krácením dokázali odstranit - využili jsme větu o limitě rovnosti dvou funkcí). Takže limita pořád neexistuje.

Ale trochu mě pořád trápí jiný problém viz : když řeším tuto limitu, tak analyzuji funkci sinus pro x jdoucí k nekonečnu (na pozadí tedy vlastně využívám větu o limitě složené funkce).

Mnohem zajímavější je podle mě například funkce signum (x).
Kdybych si nedokázal představit graf, tak limitu "neurčím".
Mohl bych tedy funkci signum nahradit výrazem |x|/x nebo počítat jednostranné limity a podle nich rozhodnout o limitě a její existenci.

K mé otázce: Typicky prvním krokem v "obecném" postupu při výpočtu limity je dosazení do funkce -
Podle mě ale nelze jen tak bezmyšlenkovitě dosadit do limity funkce a čekat "co se stane" (věta o limitě spojité funkce v bodě), protože i když získáme nějakou (ne)konečnou hodnotu, pak tato hodnota nemusí být limitou,nesplnili jsme předpoklad pro možnost využití věty o limitě spojité funkce, a proto ji nelze využít. Jenže pro to, abych mohl zjistit, zda danou větu lze využití musím tu funkci po jejím zadání podrobit nějaké analýze - sestavit alespoň hrubý graf, zjistit definiční obor, ....

Offline

 

#36 26. 02. 2018 22:37

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2124
Reputace:   66 
 

Re: Derivace konstanty

BobMarley napsal(a):

K mé otázce: Typicky prvním krokem v "obecném" postupu při výpočtu limity je dosazení do funkce -Podle mě ale nelze jen tak bezmyšlenkovitě dosadit do limity funkce a čekat "co se stane" (věta o limitě spojité funkce v bodě), protože i když získáme nějakou (ne)konečnou hodnotu, pak tato hodnota nemusí být limitou,nesplnili jsme předpoklad pro možnost využití věty o limitě spojité funkce, a proto ji nelze využít.

No určitě to tak je.

Limita taky musí existovat (a cokoliv bychom vypočítali, když limita neexistuje je nutně špatně).

Matně si vzpomínám, že u funkcí dvou (a více) proměnných je to ještě veselejší, tam se snad vůbec nedá obecně dokázat, zda limita existuje či neexistuje. Přitom jde třeba na první pohled krásně spočítat (jenže neexistuje).

Offline

 

#37 26. 02. 2018 22:45 — Editoval BobMarley (26. 02. 2018 22:46)

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Derivace konstanty

↑ MichalAld:
Takže byste souhlasil s tvrzením, že po zadání příkladu s limitou je řekněme nultým krokem, její základní analýza - sestavit alespoň hrubý graf, zjistit definiční obor, případně body nespojitost, prostě cokoliv, co mi poskytne nějakou informací o chování funkce na okolí daného bodu? A až po této základní analýze se rozhodnu, jakou cestou by mohlo mít smysl se vydat (a využít k tomu příslušné věty z teorie limit) - tam už to záleží na zkušenostech (podobně jako například s integrály).

Offline

 

#38 26. 02. 2018 23:09

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2124
Reputace:   66 
 

Re: Derivace konstanty

↑ BobMarley:
No, to je zajímavá otázka...

Já, jako technik jsem byl vždycky zastáncem toho, že je třeba věcem rozumět, a né jen umět mechanicky spočítat nějaký výsledek - protože věci ze skutečného světa (i ty velmi velmi jednoduché) se zpravidla nedají přímo popsat vztahy, které znají matematikové - a reálné situace se musejí snad vždycky nějak zjednodušit, aby se dal najít nějaký rozumný matematický popis ... a na to žádný postup (který by se mohl někdo naučit) neexistuje.

Na druhou stranu, někdo ty věci (limity v našem případě) taky musí umět počítat, takže já nevím.
Ideálně by bylo umět obojí - umtět to spočítat, a vědět, co vlastně počítám.

Já se třeba limity učil jen počítat, grafy po  nás nikdy nikdo nechtěl - a pravda je, že představa funkce, která je úplně normální, spojitá, hladká, omezená - a v jednom bodě prostě není definována - tahle představa mi pořád přijde taková divná, a pořád mám takovou intuitivní snahu si kolem toho bodu představovat nějaké "útěky do nekonečna" či tak něco.

Offline

 

#39 26. 02. 2018 23:15 — Editoval BobMarley (26. 02. 2018 23:15)

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Derivace konstanty

↑ MichalAld:
pořád mi nejde z hlavy funkce signum na okolí bodu 0. Když dosadím hned v prvním kroku, jak radí "obecné" postupy, pak mi vyjde nule. Vím, že limita je lokální vlastnost a popisuje chování na okolí bodu, ale když se nebudu zajímat o to okolí, tj nebudu analyzovat funkci (v tomto případě grafem), tak tu limitu určím prostě špatně.

Offline

 

#40 26. 02. 2018 23:31

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2124
Reputace:   66 
 

Re: Derivace konstanty

↑ BobMarley:
To tak je (s tou limitou funkce signum).
Limita (jestli tomu správně rozumím) se vůbec nezajímá o hodnotu funkce v tom bodě, ve kterém limitu hledáme, zajímá se jen o body v okolí.

Ale při výpočtu snad vždy postupujeme tak, že výraz upravujeme tak dlouho, aby šel spočítat přímo v tom bodě.

Já nepamatuji, že bychom někdy analyzovali, zdali limita vůbec exituje. Všechny příklady byly s "normálními funkcemi" (jako jsou polynomy, odmocniny, zlomky, siny, cosiny atd) kde to snad ani jinak být nemůže.

Offline

 

#41 26. 02. 2018 23:47

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Derivace konstanty

↑ MichalAld:
My jsme to taky nikdy nedělali, ono pak trochu postrádalo smysl se výpočtem limity zabývat, kdybych dokázal nakreslit graf funkce (alespoň na okolí limitního bodu).
Kdybych měl tedy čistě algebraicky spočítat limitu funkce signum(x) pro x -> 0, pak mě napadá nahrazení (úprava) funkce signum výrazem |x|/x na R\{0}. Tím by se mi příklad rozpadl na dvě limity a určoval bych vlastně jednostranné limity.

Ale v případě  limity funkce (Marian) $\sqrt{x^4-x^2}$ pro x->0 už situace tak snadná není.

Uznávám, že neřešíme "normální" funkce, které jsou spojité na svých definičních oborech  a se kterými se ve většině případů setkáme. Pak existuje druhá skupina limit, které "nejsou normální", kde bych s daným klasickým přístupem záhy nepochodíme (vypočítám s pocitem, že mám správný výsledek, ale ve skutečnosti nemám). Jak tu skupinu poznat? Napadá mě jedině snad opravdu ta analýza, nebo zkušeností.

Offline

 

#42 27. 02. 2018 00:11

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2124
Reputace:   66 
 

Re: Derivace konstanty

Je to stejné jako se vším ostatním - všechno je jednoduché, když o tom člověk moc neví.

(možná jsem několikrát ve vzorcích vykrátil proti sobě členy, které jsem vykrátit neměl, protože v oboru reálných čísel se nedaly vypočítat, ale zjevně to nikomu nevadilo...)

Offline

 

#43 27. 02. 2018 01:06

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Derivace konstanty

↑ MichalAld:
Jinými slovy: moc nad tím přemýšlím
Asi se prostě musím vnitřně smířit s tím, že existují nerozumné (typicky neskolni) funkce , které se vymykají  běžným přístupum a bez prvotní analýzy je nedokážu určit.

Offline

 

#44 27. 02. 2018 07:40

Bati
Příspěvky: 2173
Reputace:   169 
 

Re: Derivace konstanty

BobMarley napsal(a):

Asi se prostě musím vnitřně smířit s tím, že existují nerozumné (typicky neskolni) funkce , které se vymykají  běžným přístupum a bez prvotní analýzy je nedokážu určit.

To je jasne. Podle meho nazoru jsou priblizne dva typy obtiznosti limit.

U prvnich je celkem jedno, jak je pocitate, vzdy vyjde to same.

U tech druhych vetsina naivnich pokusu vede k neurcitym vyrazum, a proto prvni krokem je pouzit ty nejsofistikovanejsi metody, ktere znam, abych sam pro sebe rozhodnul, jestli dana limita existuje a jestli to je nula, nekonecno, nebo nejake jine cislo. Podle toho pak napisu presny postup, ktery pripadne zjednodusim, protoze si uvedomim, ze neni napr. potreba pouzivat Tayloruv rozvoj, apod.

Jinak tu nekde padlo, ze limita funce v bode pracuje jen s okolim tohoto bodu. Zde bych dodal, ze okoli musi byt prstencove, a doporucuju vsem, aby tohle chapali (radsi nez definici neurciteho vyrazu).

Offline

 

#45 27. 02. 2018 07:57 — Editoval BobMarley (27. 02. 2018 08:03)

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Derivace konstanty

↑ Bati:
O neurčitém výrazu jsem si udělal asi následující představu - jsou to výrazy, jejich hodnota není přesně určena.... viz Krynicky a diskuze s MichalAld.


Mě spíš momentálně nejde do hlavy přibližně toto: Uvažujme funkci
$$lim_{x \rightarrow 0}\sqrt{x^4-x^2}$ pokud se budu držet klasického postupu, tak dosadím vyjde 0-0. Není neurčitý výraz, takže limita je 0. A ejhle, při analýze funkce zjistím, že nemám pravdu, limita neexistuje.

To mě vede k závěru, že "obecný postup" určení limity by měl být rozšířen k nultý krok, analýza na prstencovém okolí bodu - definiční obor, graf.

EDIT.
Už jste se k tomu vlastně vyjádřil

BobMarley:
"Asi se prostě musím vnitřně smířit s tím, že existují nerozumné (typicky neskolni) funkce , které se vymykají  běžným přístupum a bez prvotní analýzy je nedokážu určit."

Bati:
"To je jasne"

Offline

 

#46 27. 02. 2018 08:08

Bati
Příspěvky: 2173
Reputace:   169 
 

Re: Derivace konstanty

↑ BobMarley:

Spis bych rekl, ze neurcity vyraz je ten, ktery se neda konzistentne definovat, ale nechci do tehle diskuze zabihat (protoze to taky zavisi na kontextu).

U te limity je problem s tim, ze ta funkce ma omezeny definicni obor. Takze ano, pokud v zadani uvidite odmocninu, logaritmus, arkussinus, apod., je nejprve potreba se podivat, jestli ta funkce je vubec v prstencovem okoli definovana. To je ale vetsinou videt na prvni pohled (zde x^4 < x^2 pro x male).

Pochopitelne by stacilo, aby existovala jen nejaka posloupnost konvergujici k limitnimu bodu, ve ktere dana funkce neni definovana, ale opet si troufam tvrdit, ze to by bylo videt na prvni pohled.

Offline

 

#47 27. 02. 2018 08:37 — Editoval BobMarley (27. 02. 2018 12:00)

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Derivace konstanty

Bati napsal(a):

↑ BobMarley:
U te limity je problem s tim, ze ta funkce ma omezeny definicni obor. Takze ano, pokud v zadani uvidite odmocninu, logaritmus, arkussinus, apod., je nejprve potreba se podivat, jestli ta funkce je vubec v prstencovem okoli definovana. To je ale vetsinou videt na prvni pohled (zde x^4 < x^2 pro x male).

Pochopitelne by stacilo, aby existovala jen nejaka posloupnost konvergujici k limitnimu bodu, ve ktere dana funkce neni definovana, ale opet si troufam tvrdit, ze to by bylo videt na prvni pohled.

Bati napsal(a):

↑ BobMarley:

Spis bych rekl, ze neurcity vyraz je ten, ktery se neda konzistentne definovat, ale nechci do tehle diskuze zabihat (protoze to taky zavisi na kontextu).

Máte pravdu, Vaše "představa" je přesnější.

Bati napsal(a):

↑ BobMarley:
U te limity je problem s tim, ze ta funkce ma omezeny definicni obor. Takze ano, pokud v zadani uvidite odmocninu, logaritmus, arkussinus, apod., je nejprve potreba se podivat, jestli ta funkce je vubec v prstencovem okoli definovana. To je ale vetsinou videt na prvni pohled (zde x^4 < x^2 pro x male).

Pochopitelne by stacilo, aby existovala jen nejaka posloupnost konvergujici k limitnimu bodu, ve ktere dana funkce neni definovana, ale opet si troufam tvrdit, ze to by bylo videt na prvni pohled.

To by v podstatě odpovídalo tomu, co jsem psal v předchozím příspěvku. Taky jsme tedy prováděli nějaký 0. krok - analýzy funkce na prstencovém okolí bodu.

"Obecný" postup by tedy měl být o tuto analýzu rozšířen.

Viz  příspěvěk MichalAld:

Já bych tedy neviděl až takový problém v tom, co že to vlastně je "neurčitý výraz" jako spíš v tom, že o nějakém vzorci děláme automaticky předpoklady, které nemusí platit - jako že ta limita existuje, nebo že v okolí vyšetřovaného bodu představuje vztah nějakou "rozumnou" funkci (nebo prostě jen funkci). Nic z toho nemusí být pravda..

Tohoto automatizmu se zbavím tou prvotní analýzou.

Uznávám v praxi bychom pro tento krok měli mít nějaký impuls (funkce s omezeným definičním oborem, absolutní hodnota,...).

Offline

 

#48 27. 02. 2018 14:25

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8611
Reputace:   497 
 

Re: Derivace konstanty

↑ BobMarley:

Mnohem zajímavější je podle mě například funkce signum(x).

O této funkci (značíme ji obvykle sgn nebo sign) ses, mám dojem, zmínil se zřejmým
respektem již několikrát, při tom jde o funkci velmi jednoduchou. Je definována tak,
aby nabývala pouze třÍ hodnot:

(1)                1  pro x > 0,      -1 pro x < 0,       0  pro x = 0.

Tolik definice.

Ihned je zřejmé, že jde o funkci lichou (viz definice pojmu "lichá funkce"), která je

- konstantní na otevřeném intervalu $(0, +\infty)$ (s funkční hodnotou +1),
- konstantní na otevřeném intervalu $(-\infty, 0)$ (s funkční hodnotou -1). 

Je tedy na každém z těchto intervalů spojitá a navíc není těžké zjistit, jak je to s jejími
jednostrannými limitami v bodě 0.

Zkus si uvedené vlastnosti této funkce plynoucí z její definice sám podrobně dokázat
resp. odvodit. Mohlo by to být přínosné cvičení.

Offline

 

#49 27. 02. 2018 19:42 — Editoval BobMarley (27. 02. 2018 20:47)

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Derivace konstanty

↑ Rumburak:
To byl jen příklad.
Naznačujete tedy, abych udělal PŘED vlastním výpočtem limity analýzu funkce, o kterou mi jde.
Jak jsem psal výše:

BobMarley napsal(a):

Bati napsal(a):

↑ BobMarley:
U te limity je problem s tim, ze ta funkce ma omezeny definicni obor. Takze ano, pokud v zadani uvidite odmocninu, logaritmus, arkussinus, apod., je nejprve potreba se podivat, jestli ta funkce je vubec v prstencovem okoli definovana. To je ale vetsinou videt na prvni pohled (zde x^4 < x^2 pro x male).

Pochopitelne by stacilo, aby existovala jen nejaka posloupnost konvergujici k limitnimu bodu, ve ktere dana funkce neni definovana, ale opet si troufam tvrdit, ze to by bylo videt na prvni pohled.

Bati napsal(a):

↑ BobMarley:

Spis bych rekl, ze neurcity vyraz je ten, ktery se neda konzistentne definovat, ale nechci do tehle diskuze zabihat (protoze to taky zavisi na kontextu).

Máte pravdu, Vaše "představa" je přesnější.

Bati napsal(a):

↑ BobMarley:
U te limity je problem s tim, ze ta funkce ma omezeny definicni obor. Takze ano, pokud v zadani uvidite odmocninu, logaritmus, arkussinus, apod., je nejprve potreba se podivat, jestli ta funkce je vubec v prstencovem okoli definovana. To je ale vetsinou videt na prvni pohled (zde x^4 < x^2 pro x male).

Pochopitelne by stacilo, aby existovala jen nejaka posloupnost konvergujici k limitnimu bodu, ve ktere dana funkce neni definovana, ale opet si troufam tvrdit, ze to by bylo videt na prvni pohled.

To by v podstatě odpovídalo tomu, co jsem psal v předchozím příspěvku. Taky jsme tedy prováděli nějaký 0. krok - analýzy funkce na prstencovém okolí bodu.

"Obecný" postup by tedy měl být o tuto analýzu rozšířen.

Viz  příspěvěk MichalAld:

Já bych tedy neviděl až takový problém v tom, co že to vlastně je "neurčitý výraz" jako spíš v tom, že o nějakém vzorci děláme automaticky předpoklady, které nemusí platit - jako že ta limita existuje, nebo že v okolí vyšetřovaného bodu představuje vztah nějakou "rozumnou" funkci (nebo prostě jen funkci). Nic z toho nemusí být pravda..

Tohoto automatizmu se zbavím tou prvotní analýzou.

Uznávám v praxi bychom pro tento krok měli mít nějaký impuls (funkce s omezeným definičním oborem, absolutní hodnota,...).

A v případě funkce sign(x) ten "impuls" prostě mám, zvlášť, když na intervalu R\{0} funkci vyjádřím jako $\frac{|x|}{x}$.

EDIT:
na http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/5/txc3bb5.htm se píše:

Jak najít limity?
Otázka:
Nechť je funkce f definována na nějakém prstencovém okolí bodu a určitým algebraickým vzorcem. Najděte její limitu v a.

Než si ale ukážeme, co dělat, podíváme se krátce na jiné situace. Co když není funkce dána jedním společným vzorcem na prstencovém (jednostranném pro jednostranné limity) okolí bodu a? Rozumný případ je, že je funkce dána jedním vzorcem napravo a jiným vzorcem nalevo od a a my chceme oboustrannou limitu. Pak můžeme přejít na jednostranné limity, kde jsme přesně v situaci popsané v Otázce, takže použijeme níže popsaný algoritmus, najdeme odpovědi (s trochou štěstí) a porovnáme je. Jestliže je funkce tak divná, že není dána pěkným vzorcem dokonce ani na jednostranných okolích bodu a, pak musíme řešit problém individuálně s pomocí našeho porozumění limitám, není na to žádný algoritmus.

Teď už zpět k otázce.

Řešení:
Krok 1. "Dosaďte" bod a do daného výrazu a zkuste najít výsledek pomocí algebry limit. .....





Takže je otázka, jak odlišit nějakou "rozumnou" funkci od "nerozumné".  Intuicí, zkušeností, ...

Viz výše, jak píše Bati:

Takze ano, pokud v zadani uvidite odmocninu, logaritmus, arkussinus, apod., je nejprve potreba se podivat, jestli ta funkce je vubec v prstencovem okoli definovana. To je ale vetsinou videt na prvni pohled (zde x^4 < x^2 pro x male).

Offline

 

#50 28. 02. 2018 11:27

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8611
Reputace:   497 
 

Re: Derivace konstanty

↑ BobMarley:

Naznačujete tedy, abych udělal PŘED vlastním výpočtem limity analýzu funkce, o kterou mi jde.

Ano. U některých funkcí bude ta anylýza velmi jednoduchá, u jiných bude složitější.
Je potřeba získat v tom určité zkušenosti, abychom u dalších úloh uměli posoudit,
kterou cestou jít a na co si dát pozor. Při tom platí, že spolehlivá znalost teorie
(definic a vět) je ve vysokoškolské matematice nezbytná.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson