Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 03. 2018 18:41

katka.nov
Zelenáč
Příspěvky: 4
Reputace:   
 

Součet Taylorovy řady

Dobrý den,

chtěla jsem se zeptat, jestli by mi mohl někdo vysvětlit souvislosti mezi Taylorovou řadou a integrováním/derivováním. Procházím si příklady k procvičování, ale u těchto jsem se zasekla. Klasický Taylorův polynom si ze zadání vytvořit umím, ale zde se prý postupuje nějak jinak. Má se zde určit součet Taylorovy řady. Pro obor konvergence platí (předpokládám) stejná pravidla jako pro mocninné řady - tedy -1 < x < 1. Jedná se o příklady typu
$\frac{1}{x-1}, x_{0}=0$
nebo
$\frac{1}{1-3x^{2}}, x_{0}=0$.

Existuje na tyto příklady nějaký univerzální návod?
Mockrát předem děkuji za vysvětlení.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) katka.nov)

#2 26. 03. 2018 12:46 — Editoval jarrro (02. 04. 2018 00:57)

jarrro
Příspěvky: 4990
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: Součet Taylorovy řady

Univerzálne je počítať derivácie a odhadnúť zvyšok ( napr. Pomocou Taylorovej vety.)
V tých konkrétnych úlohách je geometrický rad (pozor na obor konvergencie v 2. úlohe. Musí byť $-1<3x^2<1$)


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 26. 03. 2018 13:42

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8624
Reputace:   498 
 

Re: Součet Taylorovy řady

↑ katka.nov:

Ahoj.

Máme-li dané funkce rozvinout do T. řady se středem v daném bodě, pak lze
v těchto případech využít znalost o součtu konvergentní geometrické řady
s počátečním členem 1 a kvocientem $q$ při podmínce $|q| < 1$.  Příslušný
vzorec známý ze stř. šk. říká, že za uvedené podmínky platí

                 $\sum_{n=0}^{\infty}q^n = \frac{1}{1-q}$.

V našich úlohách o rozvoji funkcí v T.ř.  použijeme  tento vzorec ve směru
"zprava doleva".

Offline

 

#4 26. 03. 2018 14:08

katka.nov
Zelenáč
Příspěvky: 4
Reputace:   
 

Re: Součet Taylorovy řady

↑ jarrro:

Dobrý den,
moc děkuji. :)

Včera jsem se ještě na nějaké příklady tohoto typu dívala - a tam se postupuje tak, že chceme ve jmenovateli dostat tvar
$\frac{1}{1-x}$.

V tomto případě bychom si tedy upravili výraz na $\frac{1}{-3x^{2}\cdot (1-\frac{1}{3x^{2}})}$ ?

Potom se v těch řešených příkladech obor konvergence určuje podle toho upraveného x-výrazu, tedy:
$-1<\frac{1}{3x^{2}}<1$
Z toho také vychází obor konvergence $K = (-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$ jako Vám, ale když se chci dopočítat k finálnímu součtu řady, nevyjde mi $\sum_{n=0}^{\infty }3^{n}2x^{n}$.

Podle těch řešených příkladů se pokračuje s výrazem ze jmenovatele, tedy:
$-\frac{1}{3x^{2}}\sum_{n=0}^{\infty }(-\frac{1}{3x^{2}})^{n}$

Z tohoto se ale nějak nemůžu dostat k tomu výsledku.

Moc děkuji za pomoc. :)

Offline

 

#5 26. 03. 2018 14:10

katka.nov
Zelenáč
Příspěvky: 4
Reputace:   
 

Re: Součet Taylorovy řady

↑ Rumburak:

Dobrý den/Ahoj,

takže to je ten postup, kdy z toho chceme "vyjádřit" ten tvar $\frac{1}{1-x}$, že? :)

Offline

 

#6 26. 03. 2018 15:04 — Editoval Jj (26. 03. 2018 15:08)

Jj
Příspěvky: 7619
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   537 
 

Re: Součet Taylorovy řady

↑ katka.nov:

Dobrý den.
U příkladu $\frac{1}{1-3x^{2}}$ využije této rady kolegy ↑ Rumburaka: $\frac{1}{1-q}=\sum_{n=0}^{\infty}q^n$

Ze srovnání výrazů plyne, že "Vaše" $q = 3x^2$, což po dosazení hned dá výsledek rozvoje

$\frac{1}{1-3x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(3x^2)^n=\sum_{n=0}^{\infty}3^n x^{2n}$
a obor konvergence $|q|<1 \Rightarrow |3x^2| <1\Rightarrow x\in \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

atp. u ostatních podobných příkladů.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#7 26. 03. 2018 16:09 — Editoval Rumburak (26. 03. 2018 16:15)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8624
Reputace:   498 
 

Re: Součet Taylorovy řady

↑ katka.nov:

Ano, s rozvojem $\frac{1}{x-1}, x_{0}=0$ analogicky:

$\frac{1}{x-1} = - \frac{1}{1-x} = - \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)x^n$ ,

pokud $|x| < 1$.

Offline

 

#8 26. 03. 2018 18:10

katka.nov
Zelenáč
Příspěvky: 4
Reputace:   
 

Re: Součet Taylorovy řady

↑ Jj:↑ Rumburak:

Mockrát děkuji. :)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson