Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#76 29. 09. 2018 13:34 — Editoval vanok (05. 10. 2018 02:54)

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Pozdravujem ↑↑ MichalAld:,
Niekedy porozumiet dokaz v matematike potrebuje cas. 
Skusme napredovat.   
Kludne mozes pouzit vyssie napisane vety a si  s casu na cas precitaj ich dokazy. A uvidis, ze po viacerych pozornych citaniach, ti z razu bude vsetko jasne.   

Tak pokracujme z vetou 3. 
V nej ide o upresnenie grupy $\Bbb Z_n$ vdaka rozlozeniu $n$ na jeho prvociselne factory. 

V dokaze pouzijem vlasnost konecnych telies ( ktoru tu teraz nedokazem, ale  mozmem, ak o tom tu pridat jej dokaz, ak si to niekto zela). Ide o multiplikativna grupa konecneho telesa je cyklicka.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#77 30. 09. 2018 22:40

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Pokracovanie. 
V nasledujucych dokazoch treba rozlisovat dva pripady: p=2 alebo p je neparne. 
Na dokaz
B)$( \Bbb Z_{p^{\alpha}})^* \cong  \Bbb Z_{\phi(p^{\alpha})}\cong \Bbb Z_{p^{\alpha-1}(p-1)}$ , kde $ \alpha \ge 2$ a $ \alpha$ je cele cislo a tiez nech prvocislo $p \ge 3$.
pouzijeme

Ak $k\in \Bbb N^*$,tak $(1+p)^{p^k}=1+\lambda p^{k+1}$ kde $\lambda \in \Bbb N^*$ je nesudelitelne z$p$.


Dokaz sa da urobit vdaka indukcii.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#78 01. 10. 2018 14:34 — Editoval vanok (02. 10. 2018 16:27)

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Pokracovanie. 
Akoze, zatial som nevidel ziadnu reakciu tak tu dam zaciatok dokazu poslednej vlasnosti. 
Pre $k=1$ mame $(1+p)^p=1+{p \choose 1}p+...+ {p \choose i}p^i+...+p^p$.
Akoze, pre $1\le p; p|{p \choose i}$, a pre $p>i \ge 2; p^3|{p \choose i}p^i$ a samozrejme pre $p \ge 3; p^3|p^p$ tak na koniec  mame aj:
$(1+p)^p=1+p^2+u.p^3=1+p^2(1+u.p)$ ( kde u je prirodzene cislo take, ze ...). A ak polozime $\lambda=1+u.p$ ( iste okamzite vidis, ze $\lambda$ je nesudelitelne s $p$) mame ukonceny dokaz pre $k=1$

Chces skusit pokracovat?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#79 02. 10. 2018 16:25 — Editoval vanok (07. 10. 2018 16:01)

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Teraz dokazem, ze ak vlasnost z #77 plati pre n=k, tak plati aj pre n=k+1. 
Cize,predpokladam, ze $(1+p)^{p^k}=1+\lambda_k p^{k+1}$.
Co da ( necham ti samemu zvovodnit nejake mikroetapy)  $(1+p)^{p^{k+1}}=(1+\lambda_k p^{k+1})^p=\sum_{i=0}^{i=p}{p\choose i}(\lambda p^{k+1})^i$ a konecne $(1+p)^{p^{k+1}}=1+(\lambda_k+u.p) p^{k+2}$ (kde oznacim $\lambda_{k+1}=\lambda_k+u.p$ )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#80 03. 10. 2018 09:06

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Maly doplnok ( co sa tyka tych mikroetap)
$\sum_{i=0}^{i=p}{p\choose i}(\lambda p^{k+1})^i= 1+\lambda p^{k+2}+\sum_{i=2}^{i=p-1}{p\choose i}(\lambda p^{k+1})^i+\lambda^pp^{(k+1)p}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#81 03. 10. 2018 09:18

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Teraz mozme pouzit vlasnost z #77 na dokaz, ze $1+p$ je prvok radu $p^{\alpha-1}$ grupy $( \Bbb Z_{p^{\alpha}})^*$
Vidite ako?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#82 04. 10. 2018 13:27 — Editoval vanok (07. 10. 2018 16:03)

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Ako prve konstatujem, ze $(1+p)^{p^k}=1+\lambda_k p^{k+1}$ mi da pre $k=\alpha-1$:
$(1+p)^{p^{\alpha-1}}=1+\lambda_k p^{\alpha}$, co da $(1+p)^{p^{\alpha-1}} \equiv 1 \mod {p^{\alpha}}$
Ale to nestaci na dokaz ↑ vanok:, viete ako ho ukoncit?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#83 07. 10. 2018 16:29

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Pokracovanie. 
Treba napr. este toto:
Pre  $i=1,2,...,\alpha-2$ mame $(1+p)^{p^k}=1+\lambda_k p^{k+1} \neq 1 ; \mod  {p^{\alpha}}$ (lebo $\lambda_k$ nie je delitelne cislom p).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#84 09. 10. 2018 06:18 — Editoval vanok (09. 10. 2018 06:19)

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Pokracovanie.
Pripomeniem, ze akoze $\Bbb Z_p$ je teleso, tak $\Bbb Z_p^*$ je cyklicka grupa radu $p-1$.

Tiez je jasne , ze identita na $\Bbb Z$ nam da sujekciu
$\psi : (\Bbb Z_{p^\alpha} )^* \to (\Bbb Z_p)^*:[x \mod p^\alpha ]\mapsto [x \mod p]$, ktoru pouzijeme na ukoncenie dokazu vety 3 B).
Tiez nam bude uzitocne vediet, ze

Pre prvky $a;b$ grupy $G$ radov $m;n$, ktore komutuju (cize $ab=ba$) a $m;n$ su nesudelitelne, potom rad prvku $ab$ je $mn$.

( dokaz je velmi jednoduchy, ak treba ho tu pridam)

V buducom prispevku ukoncim dokaz vety 3 B).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#85 10. 10. 2018 23:26

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Tak slubeny koniec dokazu:
Nech $y \in (\Bbb Z_{p^\alpha} )^*$ take, ze $\psi(y)$ generuje $ \Bbb Z_p^* \cong \Bbb Z_{(p-1)}$.
Nech $r$ je rad prvku $y$.
Tak $1=\psi (y^r)=( \psi (y))^r$ a preto $p-1|r$; a tak existuje $x \in <y>$ radu $p-1$
Akoze grupa$(\Bbb Z_{p^\alpha} )^*$ je komutativna, prvok $x(p+1)$ ma rad $NSN(p-1;p^{\alpha-1})=(p-1)p^{\alpha-1}=card (\Bbb Z_{p^\alpha} )^*$.
Co da, ze $(\Bbb Z_{p^\alpha} )^*$je cyklicka a isomorfna s grupou $  \Bbb Z_{\phi(p^{\alpha})}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#86 13. 10. 2018 07:23 — Editoval vanok (14. 10. 2018 15:56)

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Pokracovanie. 
Tak ostava dokazat  este  cast vety 3 C), D) a F) ( cize situaciu ked p=2). 
C) a D) su velmi jednoduche, tak dokazme poslednu cast vety F) vety 3). 

Na to pouzijeme vlasnost

Nech $k \in \Bbb N^*$ (k nenulove prirodzene cislo),
potom $5^{2^k}=1+\lambda_k.2^{k+2}$ kde $\lambda_k$ je neparne

Tato vlasnost sa ukaze vdaka indukcii. 

Na pokracovvanie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#87 14. 10. 2018 16:48 — Editoval vanok (15. 10. 2018 15:06)

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Dokaz vlasnosti z#86.
Pre k=1, mame $5^2=1+2^3$.
Predpokladajme, ze plati $5^{2^k}=1+\lambda_k.2^{k+2}$,
tak $5^{2^{2k+1}}=(1+\lambda_k.2^{k+2})^2=1+\lambda_k2^{k+3}+\lambda^2 2^{2k+4}=(1+\lambda_{k+-}k.2^{k+3})^2$.

Ukoncenie dokazu  vety  3 F)
Je jasne,ze 5 je radu $2^{\alpha-2}$ v $\Bbb Z_{2^{\alpha}}$
Je tiez jasne, ze identita na $\Bbb Z$ da
$\psi : (\Bbb Z_{2^\alpha} )^* \to (\Bbb Z_4)^*:[x \mod 2^\alpha ]\mapsto [x \mod 4]$.
A tak isomorfismus
$f: (\Bbb Z_{2^\alpha} )^* \to ker \psi \times \{1;-1\}$ kde $f(x)=(x;1)$ pre $x \equiv 1 mod  4$ a $f(x)=(-x;-1)$ pre $x \equiv 3 mod  4$.
En plus $\ker \psi$ obsahuje groupu generovanu prvkom $5$ a vdaka radu prvku 5,  $ker \psi =<5>$ je radu $2.^{\alpha-2}$
Co ukoncuje dokaz.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#88 15. 12. 2018 16:03

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Pozdravujem,
Zatial nase uvahy o maticach v specialnych pripadoch nas doviedli k uvaham v teorii grup. 
A tak sme aj dokazali nejake uzitocne vlasnosti.   

Akoze ostavame ( zatial) len v jednoduchych pripadoch.
Polozme si takuto otazku.

Mame danu stvorcovu maticu A.   
Ako popisat vsetki matice B, ktore s nou komutuju?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#89 16. 12. 2018 12:22 — Editoval vanok (16. 12. 2018 12:28)

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

↑ vanok:
Pokracujme. 
Zacnime z maticamy typu 2x2.  Na zaciatok na telese $\Bbb R$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#90 17. 12. 2018 10:29

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

↑ vanok:,
Tu mozme zobrat 2 matice A, B a vysetrit ake relacie musia platit pre koficienty danych matic aby platilo $AB=BA$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#91 17. 12. 2018 18:46

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2052
Reputace:   62 
 

Re: Realne matice

Tomu bych zatím ještě rozuměl...

Offline

 

#92 20. 12. 2018 10:46

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Cau ↑ MichalAld:,
Chces to skusit. 
Tak polozim
$A=
\begin{pmatrix} 
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix}
$
$
B=
\begin{pmatrix} 
e & f \\
g & h 
\end{pmatrix}
$
A teraz vypocitaj $AB$ a tiez $BA$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#93 20. 12. 2018 20:52

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2052
Reputace:   62 
 

Re: Realne matice

No, pokud si to dobře pamatuji, tak násobení matic se dělá jako:

$c_{ij} = a_{ik}b_{kj}$

Takže:

C=AB

c11=a11 b11 + a12 b21 = ae + bg
c12=a11 b12 + a12 b22 = af + bh
c21=a21 b11 + a22 b21 = ce + dg
c22=a21 b12 + a22 b22 = cf + dh


D = BA

d11=b11 a11 + b12 a21 = ea + fc
d12=b11 a12 + b12 a22 = eb + fd
d21=b21 a11 + b22 a21 = ga + hc
d22=b21 a12 + b22 a22 = gb + hd

Offline

 

#94 21. 12. 2018 08:26 — Editoval vanok (21. 12. 2018 08:32)

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Ahoj ↑ MichalAld:,
Pochopitelne to si iste kazdy zapamäta na cely zivot.  V matricovej forme sa to napise:
$AB=
\begin{pmatrix} 
ae+bg & af+bg  \\
ce+dg & cf+dh 
\end{pmatrix}
$
a
$
BA=
\begin{pmatrix} 
ae+cf& be+df\\
ag+ch & bg+dh
\end{pmatrix}
$

A tak $AB=BA$ nam sa jeden system rovnic.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#95 22. 12. 2018 12:02 — Editoval vanok (22. 12. 2018 23:13)

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Pozdravujem ↑ MichalAld:,
Po malych ekvivalentnych upravach prideme k
$bg=cf$
$(a-d)f=( e-h)b$
$(a-d)g=(e-h)c$

To nam umozni dat odpoved na nas problem.

Mozme uvazovat tri situacie. 
A) $a\ne d$ a zaroven $e \ne h$
B) $a=d$
C)$e=h$ .

A potom v kazdej situacii potom popisat mozne riesenia. 
Na pokracovanie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#96 27. 12. 2018 18:46

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Servus ↑ MichalAld:,
Tak pokracujem s #95

V situacii A) prideme k $bg=cf$
( pre tych co to neviadia, staci vynasobit krizovo druhu a tretiu rovnicu a zjednodusit)

Situacie B) a C) su dost podobne.   
B) je ekvivalentna  s $a=d$ a naviac
$e=h$ a zaroven $bg=cf$
alebo
$b=c=0$

C) je ekvivalentna s $e=h$ a naviac
$a=d$ a zaroven $bg=cf$
alebo
$f=g=0$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#97 29. 12. 2018 20:42

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

Pochopitelne v konkretnych pripadoch, vdaka ↑ vanok: mozme hladat pre danu maticu A, matice B take, ze AB=BA ( stale nase matice su typu 2x2) tak ze vyriesime zodpovedajuci linearny system.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#98 30. 12. 2018 10:36

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#99 30. 12. 2018 13:40

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

↑ vanok:,
Pre pripadnych riesiteov. 

Vsimli ste si ze v rieseni je napisane, ze $<A,E>$ je mnozina rieseni. 

Ako sa to overi?

A tak $(A,E)$ je baza priestoru rieseni  .  Vyjadrite v nej $A^2$

Najdite charakteristicky polynom matice  $A$.

Vidite nejaky suvis z predoslou otazkou.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#100 06. 01. 2019 17:16

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Realne matice

↑ vanok:
Odpoved. 
$<A,E>$ je mnozina rieseni. 
Staci vyjadrit $A$ ako lineanu kombinaciu matic $
\begin{pmatrix} 
-1 & \frac 23 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
$ a jednotkovej matice (tu oznacenej $E$).
Kontrola



Lahko sa ukaze, ze $A^2=5A+2E$.

Characteristicky polynom matice $A$ je $
\begin{vmatrix} 
1-x & 2\\
3 & 4-x
\end{vmatrix}= x^2-5x-2
$

Ten suvis vyuzijeme neskor.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson