Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 11. 2018 14:25

Marcia24
Příspěvky: 122
Reputace:   
 

Integrace

Dobrý den, jak se prosím udělá tahle integrace? Děkuji
//forum.matematika.cz/upload3/img/2018-11/47497_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Offline

 

#2 18. 11. 2018 15:30 — Editoval Jj (18. 11. 2018 15:32)

Jj
Příspěvky: 7682
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   540 
 

Re: Integrace

↑ Marcia24:

Zdravím.

A, B (B>0)  jsou zřejmě konstanty. Můžete použít substituci $x = tg\,(t)/\sqrt{b}$.


Pokud se tedy nemýlím.

Online

 

#3 19. 11. 2018 07:20

Marcia24
Příspěvky: 122
Reputace:   
 

Re: Integrace

Já nějak nevím, jak to dosadit
$t = \arctan (\sqrt{b}x)$
$dt = \frac{1}{bx^2+1}\frac{1}{\sqrt{b}}$

Offline

 

#4 19. 11. 2018 07:36

Jj
Příspěvky: 7682
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   540 
 

Re: Integrace


Pokud se tedy nemýlím.

Online

 

#5 19. 11. 2018 07:57 Příspěvek uživatele Marcia24 byl skryt uživatelem Marcia24. Důvod: chyba

#6 19. 11. 2018 08:03

Marcia24
Příspěvky: 122
Reputace:   
 

Re: Integrace

Děkuji a pak substituce u = tg t
a vyjde
$\int_{}^{} \frac{A^2}{(1+u^2)^2}\frac{1}{\sqrt{b}}$ ?

Offline

 

#7 19. 11. 2018 09:02 — Editoval Jj (19. 11. 2018 15:19)

Jj
Příspěvky: 7682
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   540 
 

Re: Integrace

↑ Marcia24:

To určitě ne - to byste byla v podstatě tam, kde jste začala.

Po substituci $x=\frac{tg\,t}{\sqrt{B}}, \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{dt}{\sqrt{B}\cos^2t}$ to bude

$\int \frac{A^2\color{red}dx}{1+(\sqrt{B}x)^2)^2}\sim\frac{A^2}{\sqrt{B}}\int \frac{dt}{\cos^2t(1+tg^2t)^2}=\cdots$

---> po úpravě (zjednodušení výrazu s goniometrickými funkcemi)  integrovat Nevypouštět diferenciály! $\color{red} dx = \frac{dt}{\sqrt{B}\cos^2t}$


Pokud se tedy nemýlím.

Online

 

#8 19. 11. 2018 23:13

Marcia24
Příspěvky: 122
Reputace:   
 

Re: Integrace

Kde dělám prosím chybu teď?

//forum.matematika.cz/upload3/img/2018-11/65593_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Offline

 

#9 19. 11. 2018 23:37 — Editoval krakonoš (20. 11. 2018 01:22)

krakonoš
Příspěvky: 670
Reputace:   23 
 

Re: Integrace

↑ Marcia24:
V prostrednim radku ma byt zavorka umocnena nadruhou.
Toto Te ale dovede tam,kde jsi zacala
Nezavadej proto tuto substituci,vyjadri si tg pomoci sin a cos a uprav na integral z cos t umocneneho nadruhou. Dale se da pouzit vyjadreni druhe mocniny cosinu pomoci fce cos 2t ( cos2t rovno cosinus nadruhou  minus sinus nadruhou a 1 rovno sinus nadruhou plus cosinus nadruhou.
Ale jak  koukam, ty jsi mela pocitat urcity integral od minus nekonecna do plus nekonecna,nikoli neurcity??.Substituci tg lze uzit jen pro konecne  intervaly,to by vedlo k nekonecne lepeni. No,treba se k tomu Jj jeste vyjadri,jestli to zamyslel.
Tento priklad se proto standartne resi pres rekurentni vzorec pouzitim per partes,zbavis se lepeni .


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#10 20. 11. 2018 04:49

Marcia24
Příspěvky: 122
Reputace:   
 

Re: Integrace

//forum.matematika.cz/upload3/img/2018-11/85773_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Offline

 

#11 20. 11. 2018 05:50 — Editoval Jj (20. 11. 2018 06:03)

Jj
Příspěvky: 7682
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   540 
 

Re: Integrace

↑ Marcia24:   ↑ krakonoš:

Integraci substitucí jsem zvolil s cílem dojít zpětnou substitucí k téže primitivní funkci, která je v dotazu (tak jsem aspoň dotaz pochopil a jinak to zintegrovat neumím). Další postup tak, jak uvedla kolegyně:

Protože
$(1+tg^2t)^2=\(1+\frac{\sin^2t}{\cos^2t}\)^2=\(\frac{\cos^2t+\sin^2t}{\cos^2t}\)^2=\frac1{\cos^4t}$
tak
$\frac{A^2}{\sqrt{B}}\int \frac{dt}{\cos^2t(1+tg^2t)^2}=
\frac{A^2}{\sqrt{B}}\int \cos^2t\,dt=\frac{A^2}{\sqrt{B}}\int \frac{1+\cos 2t}2\,dt=$
$=\frac{A^2}{2\sqrt{B}} \(t+\frac{\sin 2t}2\)=\frac{A^2}{2\sqrt{B}} \(t+\sin t\cos t\)+C$
což při použití vztahů
$tg\, t = \sqrt{B}x, t= arctg\,(\sqrt{B}x), \sin t = \frac{tg\,t}{\sqrt{1+tg^2\,t}}, \cos t = \frac1{\sqrt{1+tg^2\,t}}$
dá při zpětné substituci
$\frac{A^2}{2\sqrt{B}} \( arctg(\sqrt{B}x) + \frac{\sqrt{B}x}{1+Bx^2}\)=A^2\(\frac{x}{2(1+Bx^2)}+\frac{arctg(\sqrt{B}x}{2\sqrt{B}}\)+C$

Takže stejný výsledek jaký je uveden v dotazu. Nejsem si proto jistý, že by v použité substituci měl být problém. Ovšem mohu se mýlit.


Pokud se tedy nemýlím.

Online

 

#12 20. 11. 2018 06:37 — Editoval Marcia24 (20. 11. 2018 07:44)

Marcia24
Příspěvky: 122
Reputace:   
 

Re: Integrace

↑ Jj:  ↑ krakonoš:
Mockrát děkuji. Ještě prosím, z čeho se vyjádří sin t a cos t?
Mohla bych pak ještě poprosit o vysvětlení poslední rovnosti?
$\frac{A^2}{2\sqrt{B}} \( arctg(\sqrt{B}x) + \frac{\sqrt{B}x}{1+Bx^2}\)=A^2\(\frac{x}{2(1+Bx^2)}+\frac{arctg(\sqrt{B}x}{2\sqrt{B}}\)+C$

Offline

 

#13 20. 11. 2018 07:44

Al1
Příspěvky: 7420
Reputace:   520 
 

Re: Integrace

↑ Marcia24:

Zdravím,

Marcia24 napsal(a):

Mohla bych pak ještě poprosit o vysvětlení poslední rovnosti?
$\frac{A^2}{2\sqrt{B}} \( arctg(\sqrt{B}x) + \frac{\sqrt{B}x}{1+Bx^2}\)=A^2\(\frac{x}{2(1+Bx^2)}+\frac{arctg(\sqrt{B}x}{2\sqrt{B}}\)+C$

Úprava: vynásobení závorky výrazem $\frac{1}{2\sqrt{B}}$ a pokrácení uvnitř závorky (a výměna pořadí sčítanců :-))

Offline

 

#14 20. 11. 2018 08:54

krakonoš
Příspěvky: 670
Reputace:   23 
 

Re: Integrace

↑ Jj:
Ahoj.
Tady to bude vporadku.Ten interval (-pi/2;pi/2) pro t prejde po zpetne substituci v puvodni interval.
Tento priklad jde spocist i pres per partes,kdyz vezmes misto zadane funkce funkci u ktere je zavorka ve jmenovateli umocnena naprvou,tu budes derivovat a jednicku integrovat.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#15 20. 11. 2018 09:08

Jj
Příspěvky: 7682
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   540 
 

Re: Integrace


Pokud se tedy nemýlím.

Online

 

#16 20. 11. 2018 09:10

Jj
Příspěvky: 7682
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   540 
 

Re: Integrace

↑ krakonoš:

   Díky.


Pokud se tedy nemýlím.

Online

 

#17 20. 11. 2018 16:51

Jj
Příspěvky: 7682
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   540 
 

Re: Integrace

↑ Marcia24:

Ještě to doplním o integraci podle mazané rady kolegyně ↑ krakonoš: (rozepíšu to trochu podrobněji):
Máme spočítat integrál    $I=\int \frac{dx}{(1+\sqrt{B}x^2)^2}$
Integrujme formálně per partes integrál $I_1 = \int \frac{dx}{1+\sqrt{B}x^2}$:

$u = \frac1{1+\sqrt{B}x^2}, \quad\quad v' =1\nl
u'= \frac{-2\sqrt{B}x}{(1+\sqrt{B}x^2)^2},\quad v=x$
$I_1=uv-\int u'v \,dx=\frac{x}{1+\sqrt{B}x^2}+2\int \frac{\sqrt{B}x^2}{(1+\sqrt{B}x^2)^2}\,dx=\nl=\frac{x}{1+\sqrt{B}x^2}+2\int \frac{(1+\sqrt{B}x^2)-1}{(1+\sqrt{B}x^2)^2}\,dx=\nl=\frac{x}{1+\sqrt{B}x^2}+2\int \frac{dx}{1+\sqrt{B}x^2}-2\int \frac{dx}{(1+\sqrt{B}x^2)^2}$

Takže je zřejmé, že
$I_1=\frac{x}{1+\sqrt{B}x^2}+2I_1-2I\quad\Rightarrow\quad I=\frac{x}{2(1+\sqrt{B}x^2)}+\frac{I_1}2$,

Integrál označený jako I1 umíme lehce spočítat:    $I_1 = \frac1{\sqrt{B}}\,arctg(\sqrt{B}x)$, tzn. hledaný integrál bude

$I=\int \frac{dx}{(1+\sqrt{B}x^2)^2}=\frac{x}{2(1+\sqrt{B}x^2)}+\frac{arctg(\sqrt{B}x)}{2\sqrt{B}}+C$

Taková finta by mě nenapadla.


Pokud se tedy nemýlím.

Online

 

#18 20. 11. 2018 16:53 Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj. Důvod: Poslední příspěvek omylem 2x

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson