Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 22. 12. 2018 09:02

stuart clark
Příspěvky: 940
Reputace:   
 

ratio of limits

If $a_{n}=\int^{\frac{1}{n}}_{\frac{1}{n+1}}\tan^{-1}(nx)dx$ and $b_{n}=\int^{\frac{1}{n}}_{\frac{1}{n+1}}\sin^{-1}(nx)dx.$ Then $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=$

Offline

 

#2 22. 12. 2018 12:07

Bati
Příspěvky: 2187
Reputace:   171 
 

Re: ratio of limits

Hi ↑ stuart clark:,
we can use a substitution to remove the n-dependence of the integrands and, with the fundamental theorem of calculus in mind, do some algebraic manipulation:

$\frac{a_n}{b_n}=\frac{\int_0^{\frac1n}\tan^{-1}(nx)-\int_0^{\frac1n(1-\frac1{n+1})}\tan^{-1}(nx)}{\int_0^{\frac1n}\sin^{-1}(nx)-\int_0^{\frac1n(1-\frac1{n+1})}\sin^{-1}(nx)}\\
=\frac{\frac1n\int^1_{1-\frac1{n+1}}\tan^{-1}y}{\frac1n\int^1_{1-\frac1{n+1}}\sin^{-1}y}\\
=\frac{(n+1)\int^1_{1-\frac1{n+1}}\tan^{-1}y}{(n+1)\int^1_{1-\frac1{n+1}}\sin^{-1}y}$.
Since the integrands are left-continuous in 1, we can apply the fundamental theorem of calculus to obtain
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\tan^{-1}1}{\sin^{-1}1}=\frac12$.

Offline

 

#3 24. 12. 2018 06:29

stuart clark
Příspěvky: 940
Reputace:   
 

Re: ratio of limits

Thanks ↑ Bati:

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson