Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 01. 2019 10:49 — Editoval AterCZ (05. 01. 2019 10:50)

AterCZ
Příspěvky: 158
Pozice: Student
Reputace:   
 

Vázané extrémy funkce dvou proměnných

Zdravím,
snažím se vyřešit příklad. Mohu poprosit o pomoc?

Najdi vázané lokální extrémy fce dvou proměnných
$2x^{2}+y^{2}$ při vazební podmínce $x^{2}-y-1=0$

Úprava vazební podmínky
$y=x^{2}-1$

Dosazení do rovnice
$f(x)=x^{4}+1$

První derivace
$f^{,}(x)=4x^{3}$

Bod podezřelý z extrému
$A = (0;-1)$

Druhá derivace
$f^{,,}(x)=12x^{2}$

Dosazení A
$f^{,,}(x)=12*0^{2}$

$f^{,,}(x)=0$

V bodě A má být lokální minimum, samotný bod A je dle výsledků správně.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) AterCZ)

#2 05. 01. 2019 11:09

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8618
Reputace:   497 
 

Re: Vázané extrémy funkce dvou proměnných

↑ AterCZ:

Ahoj.

V podstatě jsi úlohu na extrém s vazbou převedl na úlohu o extrému funkce jedné proměnné,
což je v pořádku. Že funkce $f(x)=x^{4}+1$ má v bodě 0  lokální (dokonce absolutní) minimum,
je zřejmé (neboť pro reálné $x$ je $x^4 \ge 0$).

Offline

 

#3 05. 01. 2019 11:16

AterCZ
Příspěvky: 158
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Vázané extrémy funkce dvou proměnných

↑ Rumburak: děkuji za odpověď.
Mohu poprosit ještě o dovysvětlení, popřípadě o radu, kde bych se to mohl doučit? Mám naučený jen postup, kdy u dosazovací metody lokální extrém je v případě, že právě ta druhá derivace je buď větší, nebo menší než 0.

Offline

 

#4 05. 01. 2019 12:11

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8618
Reputace:   497 
 

Re: Vázané extrémy funkce dvou proměnných

↑ AterCZ:

Je to spíše o úvaze než o nějaké "metodě".

Když má funkce jedné proměnné na nějakém otevřeném intervalu kladnou první derivaci, je na tomto
intervalu rostoucí, což plyne z předpisu definujícího první derivaci.
Analogicky:  Když má funkce jedné proměnné na nějakém otevřeném intervalu zápornou první derivaci,
je na tomto intervalu klesající.
(Obrácená implikace ale neplatí: Je-li funkce na ot. intervalu monotonní, má sice v mnoha jeho bodech
derivaci, ale ne nutně ve všech. )

Odtud plyne i nutná podmínka pro extrém: Ma-li funkce jedné proměnné ve vnitřním bodě intervalu lokální
extrém a zároveň derivaci, je tato rovna nule. Tuto podmínku nelze obrátit - samotná nulovost první derivace
extrém nezajišťuje.

Dále:
Když má funkce jedné proměnné na nějakém otevřeném intervalu kladnou druhou derivaci, je na tomto
intervalu konvexní (její první derivace je rostoucí).
Analogicky:  Když má funkce jedné proměnné na nějakém otevřeném intervalu zápornou druhou derivaci,
je na tomto intervalu konkávní (její první derivace je klesající).

Uvedené implikace lze využít při vyšetřování průběhu funkce, ale nelze je obrátit.

Klasickou českou učebnicí na toto téma je Diferenciální počet I od Vojtěcha Jarníka.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson