Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 12. 01. 2019 20:59

lara222
Zelenáč
Příspěvky: 2
Reputace:   
 

Optika

Dobry vecer:)
Prosim vas pomohol by mi niekto vyriesit tento priklad?:)
Do akej vzdialenosti od rozptylky s optickou mohutnosťou -5D je treba dať predmet, aby jeho obraz bol 4-krát zmenšený?
dakujem za pomoc:)

Offline

 

#2 12. 01. 2019 21:14

edison
Příspěvky: 1264
Reputace:   30 
 

Re: Optika

Rád pomůžu, napiš na jaký problém jsi při řešení narazil.

Offline

 

#3 12. 01. 2019 21:16

lara222
Zelenáč
Příspěvky: 2
Reputace:   
 

Re: Optika

Pocitala som to cez zobrazovaciu rovnicu sosovky a vyslo mi to -1 cm. Chcela som sa uistit ci to je správne

Offline

 

#4 14. 01. 2019 03:02

edison
Příspěvky: 1264
Reputace:   30 
 

Re: Optika

Teda tak rozptylka je pro mně překvapivě nějak matoucí:-)
Takže správný výpočet tak, abych si mohl být zcela jist dohromady nedám.

Ale jisté je, že:
Zadání říká, že čočka má -5 dioptrií, takže ohniskové vzdálenost je -1/5 m, tzn. -20 cm.

1 cm co ti vyšel je proti tomu v podstatě zanedbatelný, tedy i zmenšení bude zanedbatelné a ke čtyřnásobnému bude mít dost daleko.

Pak bude taky dobré se podívat, jaké konvence má zadavatel ohledně znaménka té vzdálenosti u rozptylky, zda to má být záporné.

Offline

 

#5 14. 01. 2019 17:53 — Editoval MichalAld (14. 01. 2019 18:04)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1941
Reputace:   56 
 

Re: Optika

Jo, je to zmatené, a člověk musí vědět, jak se čočky chovají, aby se dopočítal správných výsledků (musí vědět, co má vyjít).

Pěkně popsané vztahy jsem našel na anglické wiki
https://en.wikipedia.org/wiki/Lens_(opt … properties


Pro tento příklad stačí použít vzorec na výpočet zvětšení, tedy:

$M= -\frac{S_2}{S_1} =\frac{f}{f-S_1}$

(tu druhou část vzorce lze získat z té první a zobrazovací rovnice $\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2} = \frac{1}{f}$)

f - ohnisková vzdálenost, u rozptylek je záporná, to je nutné vědět.
S1 - vzdálenost předmětu od středu čočky - ta je vždycky kladná
S2 - vzdálenost obrazu od středu čočky - ta může být kladná i záporná,
       kladná je, když je obraz na opačné straně než předmět, záporná když je na stejné straně.
       Takže u rozptylky bude S2 záporné.

M - zvětšení - to má také své znaménko, záporné je, když to obraz převrací (u rozptylky tedy bude kladné).
      No a pokud má čočka 4x zmenšovat, musíme dosadit hodnotu 1/4 - protože tolikrát má zvětšovat.


Dále - f = 1/D, takže při mohutnosti čočky -5D je f = -0.2m. To je asi jasné.

Ze vzorce pro zvětšení snadno odvodíme, že

$S_1 = \frac{M-1}{M}f = \frac{1/4 - 1}{1/4}(-0.2)=\frac{-3/4}{1/4}(-0.2)=(-3)(-0.2)=0.6m$


Protože je však počítání s (rozptylnými) čočkami pěkně zmatené, zkusíme si spočítat i ten zbytek. A pak si můžeme zkontrolovat, jestli nám zvětšení vyšlo správně. Pokud známe polohu předmětu, můžeme použít známou zobrazovací rovnici, abychom dostali i polohu obrazu:

$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2} = \frac{1}{f}$

Z té snadno získáme vztah

$S_2 = \frac{fS_1}{S_1-f} = \frac{(-0.2)(0.6)}{0.6 - (-0.2)}= \frac{-0.12}{0.8}=-0.15$

Vyšlo nám S2 záporné, což je správně, protože obraz leží ve stejné části jako předmět (je to zdánlivý obraz). Teď můžeme zkontrolovat to zvětšení, dosazením do vztahu

$M= -\frac{S_2}{S_1} =-\frac{-0.15}{0.6} = 0.25=\frac{1}{4}$

Což je to, co jsme na začátku požadovali. Takže to máme nejspíš správně.

Offline

 

#6 14. 01. 2019 23:15 — Editoval LukasM (14. 01. 2019 23:17)

LukasM
Příspěvky: 3144
Reputace:   186 
 

Re: Optika

No, jsem rád, že tu tentokrát alespoň není úvod do kvantové elektrodynamiky, variační principy, neeukleidovská geometrie a jiné partie teoretické fyziky, které by sem určitě šly zatáhnout, jak je u některých dobrým zvykem:-)

Co je potřeba vědět není až tak to, jak to má vyjít, ale jak rozptylná čočka zpracuje paprsek jdoucí od předmětu vodorovně s osou a přímo do středu čočky (což lidé na SŠ, odkud kolega evidentně je, zpravidla vědí). Pak je možné se na všechna znaménka, vzorečky a konvence vykašlat a nakreslit si prostě obrázek (záměrně neodpovídá těm číslům, ale je obecný):
//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-01/00726_rozptylka.png
(Notorický kverulant namítne, že jsem mohl předmět nakreslit mezi čočku a ohnisko a dostat něco kvalitativně jiného - stačí si ale rozmyslet, že v takovém případě by bylo příčné zvětšení vždy větší než 0,5, takže takhle je to správně.)

Tím se z toho ovšem stává úloha pro základní školu (kohokoli, kdo někdy slyšel o podobnosti trojúhelníků). Podle přesné volby trojúhelníků (jde si tam ještě pomoct) bude potřeba udělat nějaké algebraické úpravy (analogické tomu "vzorečkovému" řešení), ale to sestavení je takhle možné udělat prakticky bez znalosti čehokoli. Vzhledem k zadání je samozřejmě potřeba ještě vědět, jak souvisí ohnisková vzdálenost s ohniskovou mohutností.


Celé to tu rozepisovat nebudu. Ano, vyšlo mi 60 cm.

Z mých zkušeností s výukou na SŠ je znaménková konvence skoro to nejhorší, co se do těch učebnic dostalo. Horší je už jenom STR v podání učebnic Prométheus - to se ale v dnešní "moderní době" stejně už skoro nikde neučí. Tohle je samozřejmě jen můj osobní názor.


Edit: nemám faktické námitky proti řešení výše, ale z didaktického hlediska ho považuji za velmi, skutečně velmi nevhodné.

Offline

 

#7 15. 01. 2019 09:21

LukasM
Příspěvky: 3144
Reputace:   186 
 

Re: Optika

MichalAld:
Z toho jak ses urazil a smazal příspěvek (který byl správně a pro téma by býval byl užitečný) bych řekl, že jsem byl ne zcela pochopen. Ale s tím dokážu žít, chci napsat jen tolik: Tvé příspěvky čtu rád a mnohdy se z nich dozvím užitečné věci, které jsem si třeba sám neuvědomil. To snad ale ještě není důvod, abych nemohl napsat, že podle mně jde něco udělat lépe (a ostatní s tím mohou a nemusí souhlasit), stejně jako to za těch deset let mnoho lidí napsalo mně. Neřekl bych, že jsem udělal zas tolik, aby si to vynutilo tuto reakci (a v žádném případě nebylo mým cílem někoho urazit).

Offline

 

#8 15. 01. 2019 15:47 — Editoval MichalAld (15. 01. 2019 16:04)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1941
Reputace:   56 
 

Re: Optika

No jo, z matematického hlediska se výroky "nemám faktické námitky proti řešení výše, ale z didaktického hlediska ho považuji za velmi, skutečně velmi nevhodné" a "příspěvek byl správně a pro téma by býval byl užitečný" dost těžko chápou, mají li platit oba najednou.

Ale když je to tak užitečné, tak já to zase "odmažu"...

Offline

 

#9 15. 01. 2019 17:07

LukasM
Příspěvky: 3144
Reputace:   186 
 

Re: Optika

↑ MichalAld:
Ono když se člověk zasoustředí na to, co znamená "didaktické hledisko", tak to smysl dávat začne. Ale znovu opakuji, není mým cílem se tu hádat, jen jsem si dovolil nastínit jiné řešení, to je celé. Pokud jsem se Tě nějak dotknul, omlouvám se.

Offline

 

#10 15. 01. 2019 17:20

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1941
Reputace:   56 
 

Re: Optika

↑ LukasM:
S tím si nelam hlavu...

Offline

 

#11 15. 01. 2019 19:03

edison
Příspěvky: 1264
Reputace:   30 
 

Re: Optika

Já si nakreslil prakticky stejné 3 obrázky jako ↑ LukasM:, se vzdálenostmi f/2, f a 2f, odhadnul jsem, že zmenšení bude 1/(1+s) kde s je v jednotkách f, čímž jsem též došel k 60 cm.


Ale pak mě zmátlo zjištění, že když je obraz blíž k pozorovateli, nevidí ho vlastně tolik zmenšený a nebyl jsem si jist, zda se tento aspekt má při výpočtu zmenšení nějak zohlednit.

Offline

 

#12 15. 01. 2019 21:48

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1941
Reputace:   56 
 

Re: Optika

↑ edison:
To je určitě pravda - pokud je obraz jen virtuální, je i výsledek jen virtuální.

Offline

 

#13 16. 01. 2019 21:03

LukasM
Příspěvky: 3144
Reputace:   186 
 

Re: Optika

↑ edison:
V takovém případě by tam ale podle mně muselo být explicitně uvedeno, že "4x zmenšený" znamená 4x menší zorný úhel při pozorování předmětu a obrazu (tedy že se nemyslí příčné zvětšení). Musela by také být známa pozice toho pozorovate, aby mělo smysl přemýšlet o tom, co uvidí jak velké.

Ovšem neřekl bych, že to má co společného s tím, jestli je obraz virtuální, nebo ne. Skutečný obraz (a obecně jakékoli těleso) se mi také bude zdát větší, když udělám pár kroků dopředu. To se skutečně týká až pozice pozorovatele a nic to nemění na tom, že i virtuální obraz má objektivně zjistitelnou velikost. Nebo to tak není?

Offline

 

#14 16. 01. 2019 23:04

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1941
Reputace:   56 
 

Re: Optika

↑ LukasM:

Pokud je zadané příčné zvětšení, tak nějaká pozice pozorovatele na to vliv nemá.

Na druhou stranu je pravda, že často je údaj o příčném zvětšení dost naprd, jak píší na wiki třeba zrovna v případech, kdy zobrazovací soustavy produkují jen virtuální obraz - a tak se zavádí také úhlové zvětšení - což určuje, kolikrát se objekt (úhel) jeví větší než když bychom koukali samotným okem.

Offline

 

#15 16. 01. 2019 23:08

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1941
Reputace:   56 
 

Re: Optika

LukasM napsal(a):

Ovšem neřekl bych, že to má co společného s tím, jestli je obraz virtuální, nebo ne. Skutečný obraz (a obecně jakékoli těleso) se mi také bude zdát větší, když udělám pár kroků dopředu. To se skutečně týká až pozice pozorovatele a nic to nemění na tom, že i virtuální obraz má objektivně zjistitelnou velikost. Nebo to tak není?

Já měl na mysli jen to, že skutečný obraz vytvořený zobrazovací soustavou můžeme fyzicky změřit (posuvným měřítkem např.) nebo jej promítnout na snímač kamery....o jeho velikosti nemůže být pochyb.

Zatímco velikost virtuálního obrazu je jen vypočtená a nijak ji změřit nejde, musíme z něj nějakou zobrazovací soustavou vytvořit reálný obraz a velikost pak spočítat. Nic víc jsem tím nemyslel - jen to, že velikost virtuálního obrazu je také virtuální, protože ji nelze změřit.

Offline

 

#16 16. 01. 2019 23:11

edison
Příspěvky: 1264
Reputace:   30 
 

Re: Optika

↑ LukasM:Samozřejmě to tak je. Jen jsem si prostě nebyl jist, zda se slovem "zmenšený" v zadání myslí to jednoduché zmenšení, nebo je to nějak jinak, tak jsem radši napsal že si nejsem jist. Na zodpovězení základní otázky, zda je 1 cm správně to stačilo a zároveň jsem si mohl být jistý s tím, že jsem neporadil chybně, což je určitě lepší, než jak tu, ne tak dávno, jistý Mráček běžně radil kraviny.

Ale obecně mě to trochu zaskočilo, protože jsem spíše zvyklý se zabývat zaostřenými optickými soustavami, jako dalekohledy a objektivy, a tohle bylo pro mě takové nezvyklé, tedy o důvod víc k nejistotě:-) Navíc jsem všude našel prakticky jen výpočty zvětšení lupy, ale s rozptylkou skoro nikde nic, takže zas nebylo jak si ověřit zda jsem to vymyslel správně.

↑ MichalAld:Ano, to je další věc, že mi prostě přišlo, že to příčné zvětšení neodpovídá reálně viditelnému výsledku. Což jsem si i ověřil fyzicky po vyhrabání rozptylky na dně šuplíku.

Offline

 

#17 17. 01. 2019 05:48

LukasM
Příspěvky: 3144
Reputace:   186 
 

Re: Optika

↑ MichalAld:, ↑ edison:
Rozumím, chápu a souhlasím. Jen jsem si chtěl ujasnit že nemám nějakou nepříjemnou mezeru ve vzdělání. A je to ok, píšeme všichni to samé:-)

A teď už rozumím i tomu, co bylo myšleno tím, že zdánlivý obraz je matoucí. Ona totiž každá takováto situace v praxi obsahuje ještě třetí čočku, která je v oku a dělá ten skutečný obraz. A matoucí může být to, že oko nepozná, jak je co daleko (tedy neodliší malý obraz blízko a velký daleko, takže příčné zvětšení se jen pohledem nedá zjistit). Dokonce si vzpomínám, že se mně přesně na tohle ptali u státnic na MFF a chtěli po mně do nějakého podobného obrázku to oko dokreslit.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson