Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 27. 01. 2019 15:05

Pavel_J
Příspěvky: 25
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Linearni zavislost vektoru

Mejme matici A jejiz rady(radky nebo sloupce) predstavuji vektory. Plati (lze lehce dokazat) veta: Pokud vektory v matici A jsou linearne zavisle, pak determinant teto matice je nulovy.
Prosim o pomoc s dukazem tvrzeni v opacnem smeru: Pokud determinant matice A je nulovy, potom jeji vektory jsou linearne zavisle.
Dik predem.
Pavel J.

Offline

 

#2 27. 01. 2019 15:21

laszky
Příspěvky: 1325
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   102 
 

Re: Linearni zavislost vektoru

↑ Pavel_J:

Ahoj, myslis treba takto?

$\det\mathbb{A}=0\;\;\Rightarrow\;\;\mathbb{A}\ \mbox{je singul{\'a}rn{\'{\i}}} \;\;\Rightarrow\;\;\ker\mathbb{A}\neq\emptyset\;\;\Rightarrow\;\; \exists\ \vec{u}\neq\vec{0}:\; \mathbb{A}\vec{u}=\vec{0}\;\;\Rightarrow\;\;\sum_{i=1}^n\vec{a}_iu_i=\vec{0}$,

kde $\vec{a}_i$ jsou sloupce matice $\mathbb{A}$.

Online

 

#3 04. 02. 2019 13:57 — Editoval Pavel_J (04. 02. 2019 13:59)

Pavel_J
Příspěvky: 25
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Linearni zavislost vektoru

No to mi moc nepomohlo. Můj dotaz je na to, z čeho vycházíte, tj.
proč detA = 0   => je kerA <> {}, respektive
proč kerA = {} => detA <> 0

Offline

 

#4 05. 02. 2019 03:42

vanok
Příspěvky: 13265
Reputace:   722 
 

Re: Linearni zavislost vektoru

Ahoj ↑ Pavel_J:,

Mozes nam pripomenut ako ste definovali pojem $\det A$
( od toho zavisi odpoved!)

Ake studijne materialy pouzivas?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 05. 02. 2019 10:38 — Editoval Pavel_J (05. 02. 2019 10:39)

Pavel_J
Příspěvky: 25
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Linearni zavislost vektoru

↑ vanok:
det A je determinant matice A
tedy soucet soucinu n prvku matice nxn vybiranych vsemi moznymi zpusoby tak, aby v kazdy vyber pokryl vsechny radky i sloupce. Znamenko u soucinu je + pro sude a - pro liche permutace indexu radku ci sloupce.
Z toho vyplyva nulovost determinantu pro matice obsahujici linearni kombinaci radku (sloupcu).
Asi tomu bude i naopak, nulovost det A implikuje existenci linearni zavislosti, ale pro mne to neni zrejme a to mne trapi.

Offline

 

#6 05. 02. 2019 12:51 — Editoval vanok (06. 02. 2019 21:44)

vanok
Příspěvky: 13265
Reputace:   722 
 

Re: Linearni zavislost vektoru

Ahoj ↑ Pavel_J:,

No treba byt presny .
To chces povedat ze mas definiciu ako tu
def. determinantu
kde je uvedena ako Leibnirova formula. 
( pre viac informacii pozri aj na anglicku alebo francuzku verziu)

Najdolezitejsie zakladne vlasnosti ste videli v skole kde ste ukazali, medzi inym, ze determinant je n-linearna alternovana forma, taka, ze determinant jednotkovej matice je 1.  . 
( dokazy najdes aj v kazdej dobrej knihe linearnej algebry).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 05. 02. 2019 13:16

Pavel_J
Příspěvky: 25
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Linearni zavislost vektoru

Mám několik učebnic Lineární Algebry, ale vysvětlení implikace, na kterou jsem se ptal, jsem nikde nenašel. Najde se tu někdo ochotný mi pomoci konkrétněji?

Offline

 

#8 06. 02. 2019 02:22

jardofpr
Příspěvky: 1154
Reputace:   78 
 

Re: Linearni zavislost vektoru

pozdravujem všetkých

↑ Pavel_J:

každá matica sa dá previesť Gaussovou elimináciou do takzvanej redukovanej schodovitej/stupňovitej formy,
čo patrí k učivu pred témou o determinante

keď má matica $A$ nulový determinant, tak aj jej RSF má nulový determinant
(vplyv elementárnych operácií na determinant sú základné vlastnosti)

ale RSF štvorcovej matice s nulovým determinantom musí mať už na rozdiel od pôvodnej matice nulový aspoň
jeden riadok, t.j. jeden z riadkov sa pri Gaussovej eliminácii musel dať vyjadriť ako lineárna kombinácia
riadkov ostatných

nie som si istý čo ti prekážalo na pomoci od kolegov ale možno s týmto sa uspokojíš

Offline

 

#9 06. 02. 2019 19:59 — Editoval Pavel_J (06. 02. 2019 20:06)

Pavel_J
Příspěvky: 25
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Linearni zavislost vektoru

Dik, této konstrukci rozumím takto:

1) Upravou matice do RSF se nemeni jeji determinant, to je jasne.
2) Determinant RSF matice je roven soucinu prvku na hlavni diagonale
3) By-li determinant puvodni matice nulovy, musi byt na diagonale RSF alespon jedna nula ... V TOM JE VTIP DUKAZU
4) Takova RSF lze dale upravit tak, ze bude obsahovat nulovy radek
5) I tento nulovy radek vznikl prictenim linearni kombinace jinych radku, tim linearni zavislost dokazana.

Predchozi prispevky byly pro mne nesrozumitelné, protoze mi NEPRIPADALY
dost konkretni, nebo obsahovaly tvrzeni, ktera jsem nedovedl dokazat.
Ted uz ma moje duse klid, a dekuji vsem, co se mnou ztraceli cas.

Offline

 

#10 06. 02. 2019 21:25

vanok
Příspěvky: 13265
Reputace:   722 
 

Re: Linearni zavislost vektoru

Ahoj ↑ Pavel_J:,

Poznamka. 
I ked sa ti tvoje 1) zda jasne, treba to formalne dokazat.   ( no mozno ste to uz dokazali v skole).
Inac nieco ekvivalentne o tom som napisal tu ↑ vanok:.

( ten dokaz je zavisli od definicii determinantu, ktoru vam dali v skole).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#11 06. 02. 2019 21:39

jardofpr
Příspěvky: 1154
Reputace:   78 
 

Re: Linearni zavislost vektoru

↑ Pavel_J:

vidím že ešte je potrebné to okomentovať

najprv RSF pripomeniem, matica je v RSF tvare keď
a) žiadny nulový riadok nie je nad nenulovým riadkom
b) vedúci koeficient riadku (t.j. prvý nenulový prvok zľava) je striktne vpravo od každého vedúceho koeficientu riadkov vyššie
c) vedúci koeficient každého riadku je rovný 1
d) každý stĺpec v ktorom sa nachádza vedúci koeficient nejakého riadku obsahuje okrem neho už len nuly

matica nemusí byť štvorcová aby mala RSF, každá matica nad poľom toto vyjadrenie má a to je jednoznačné

prípad štvorcovej matice je špeciálny lebo buď je pre takúto maticu RSF jednotková matica, alebo aspoň posledný riadok je nulový $(\star)$

Pavel_J napsal(a):

Dik, této konstrukci rozumím takto:

1) Upravou matice do RSF se nemeni jeji determinant, to je jasne.

Pozor toto nie je pravda, matica $\begin{bmatrix}4&1\\2&1\end{bmatrix}$ má determinant rovný 2 ale jej RSF $\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ má determinant 1.
V tom prvom kroku je dôležité, že AK MÁ MATICA NULOVÝ DETERMINANT, potom jej RSF má nulový determinant,
elementárne riadkové operácie ktoré vedú k RSF vedia zmeniť determinant, ale efekt je obmedzený na násobenie konštantou, čo špeciálne pri $det(A)=0$ neprinesie zmenu

Pavel_J napsal(a):

2) Determinant RSF matice je roven soucinu prvku na hlavni diagonale

... RSF štvorcovej matice ...

Pavel_J napsal(a):

3) By-li determinant puvodni matice nulovy, musi byt na diagonale RSF alespon jedna nula ... V TOM JE VTIP DUKAZU

v súlade s komentárom vyššie označenom hviezdičkou, toto nie je ťažké si rozmyslieť

Pavel_J napsal(a):

4) Takova RSF lze dale upravit tak, ze bude obsahovat nulovy radek
5) I tento nulovy radek vznikl prictenim linearni kombinace jinych radku, tim linearni zavislost dokazana.

Nie je dôvod upravovať ďalej, lebo RSF štvorcovej matice s nulovým determinantom už nulový riadok obsahuje,
keď si prejdeš komenty vyššie malo by to byť zrejmé

Offline

 

#12 06. 02. 2019 22:04 — Editoval Pavel_J (06. 02. 2019 22:39)

Pavel_J
Příspěvky: 25
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Linearni zavislost vektoru

Děkuji za vysvětlení. Uvažoval jsem čtvercovou matici s nulami pod diagonalou (kterou jsem asi mylně ztotožnil s RSF). Takovou trojúhelníkovou matici dostaneme upravami, ktere nemění hodnotu determinantu*1) . Linearní závislost jejich řádků (v případě nulovosti determinantu) lze pak dokázat tak, jak jsem uvedl (jen misto RSF patří označení "Trojúhelníková matice").

Nechápu však, proč by možnost důkazu uvedených souvislostí závisel na definici determinantu. Přece máme jen jeden algebraický výraz nazvaný determinant.
Netuším zda determinanta definovat jinak. Pokud ano, pak snad některé definice umožní provést hledaný důkaz lineární závislosti elegantněji.

----------
*1) přičítáním lineárních kombinací řádků se nemění hodnota determinantu, nebot při rozvoje determinantu podle řádku, ke kterému bylo přičteno, se přičtené řádky na hodnotě determinantu podílejí tzv nepravým rozvojem a ten je vždy nulovy.

Offline

 

#13 06. 02. 2019 22:16

vanok
Příspěvky: 13265
Reputace:   722 
 

Re: Linearni zavislost vektoru

Cau ↑ Pavel_J:,

Ked budem mat cas to tu napisem ako sa to da robit.   

( iny priklad podobnej situacie: realne cisla mozme uviest
1)axiomaticky
2) vdaka Dedekind-ovym rezom
3) vdaka Cauchy-ovym postupnostiam a ich kompleciov ( Cantor)
Atd...’
No vsak v kazdom pripade musi me dokazat, ze pouzitie metody je ekvivalentne).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson