Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#276 25. 01. 2019 16:58

jardofpr
Příspěvky: 1154
Reputace:   78 
 

Re: Limitny maraton

ahoj ↑↑ krakonoš:

áno tá pravidelnosť tam je a nie je náhodná

ono aby bolo toto riešenie kompletné by bolo treba pokračovať až do rádu 5 alebo urobiť dôkaz indukciou,
oba prípady sa nakoniec nezaobídu bez rozširovania zlomku

Offline

 

#277 27. 01. 2019 16:31

stuart clark
Příspěvky: 907
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Offline

 

#278 05. 02. 2019 04:17 — Editoval stuart clark (05. 02. 2019 15:00)

stuart clark
Příspěvky: 907
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

problem (61)

For a sequence $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ , If $x_{1}=5.$ and

$x_{n+1}=x^2_{n}-2.$ Then value of

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_{n+1}}{x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}}=$

Offline

 

#279 05. 02. 2019 13:17 — Editoval krakonoš (05. 02. 2019 13:29) Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#280 05. 02. 2019 14:05

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Limitny maraton

Hi ↑ stuart clark:,

This problem is problem 61?
This idea
$x_{n+2}-2=x_{n+1}^2-4=(x_{n+1}-2)(x_{n+1}+2)=(x_n^2-4)x_n^2=...=x_1^2...x_n^2(x_1^2-4)$
leads to the desired limit


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#281 05. 02. 2019 14:59 — Editoval stuart clark (05. 02. 2019 15:03)

stuart clark
Příspěvky: 907
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Thanks ↑ vanok:

but answer given as $6$

also i did not understand how to solve from the line

$x^2_{n+1}-4=(\prod^{n}_{i=1}x^2_{i})\cdot 21$

Offline

 

#282 05. 02. 2019 18:31

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Limitny maraton

Hi ↑ stuart clark:,
We have
$\frac {x_{n+1}^2}{ \prod^{n}_{i=1}x^2_{i}}-\frac 4{\prod^{n}_{i=1}x^2_{i}}=21$
and
$\frac 4 { \prod^{n}_{i=1}x^2_{i}} \to 0$ if $x \to \infty$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#283 05. 02. 2019 22:43

jardofpr
Příspěvky: 1154
Reputace:   78 
 

Re: Limitny maraton

hi there guys


Nice way to go ↑ vanok:, my solution is much more complicated


↑ stuart clark: I believe result proposed by ↑ vanok: is correct
I tried differently (to get rid off the -2 part of the recurrence definition) and got the same result as he got

Offline

 

#284 06. 02. 2019 11:28 — Editoval stuart clark (06. 02. 2019 16:23)

stuart clark
Příspěvky: 907
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Thanks ↑ vanok:  ↑ jardofpr:

I have used Hyperbolic function $x_{1}=2\cosh\theta,x_{2}=2\cosh2\theta\;\cdots\cdots ,x_{n}=2\cosh2^{n-1}\theta$

Offline

 

#285 06. 02. 2019 11:34

stuart clark
Příspěvky: 907
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

problem (62)

If $f(x)=8x^3+3x$ and $f^{-1}(x)$ be the inverse of $f(x).$ Then $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f^{-1}(8x)-f^{-1}(x)}{x^{\frac{1}{3}}}$

Offline

 

#286 07. 02. 2019 15:35 — Editoval jardofpr (07. 02. 2019 17:03)

jardofpr
Příspěvky: 1154
Reputace:   78 
 

Re: Limitny maraton

hi ↑ stuart clark:

to problem (62)
with this one I actually had a lot of fun before the trick hit me



my first intention was to solve by mean value theorem and inverse function differential theorem,
didn't finish yet, so I would be interested also in solution using those tools

Offline

 

#287 09. 02. 2019 03:55

laszky
Příspěvky: 1331
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   102 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:

Or, you can consider the Taylor expansion of the function $f^{-1}(x)$ in $+\infty$, which has the form

$f^{-1}(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{3}}+\frac{1}{48}x^{-\frac{5}{3}}+\frac{1}{96}x^{-\frac{7}{3}}-\frac{1}{288}x^{-\frac{11}{3}}+\mathcal{O}(x^{-\frac{13}{3}})$.

Then

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f^{-1}(8x)-f^{-1}(x)}{x^{\frac{1}{3}}} = \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{2}\sqrt[3]{8x}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}+\mathcal{O}(x^{-\frac{1}{3}})}{\sqrt[3]{x}} = \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{2}\right) + \mathcal{O}(x^{-\frac{2}{3}}) = \frac{1}{2}$.

Offline

 

#288 10. 02. 2019 12:12

stuart clark
Příspěvky: 907
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Thanks ↑ jardofpr:↑ laszky:.

@Laszky can you please explain me how we get Taylor expansion of $f^{-1}(x)$ around Infinity.

Offline

 

#289 10. 02. 2019 14:31

laszky
Příspěvky: 1331
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   102 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:

Try to find a function $g(x)$ satisfying $f(g(x))=x$. Start with the inverse of the term $8x^3$ and then add powers of $x^{-\frac{1}{3}}$:

$g(x)= \frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}} + a_0+ a_1x^{-\frac{1}{3}} + a_2x^{-\frac{2}{3}} + \cdots$.

Successively compute the unknown coefficients $a_i$ to fulfill $f(g(x))=x$.

For example $f\left( \frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}} + a_0+ a_1x^{-\frac{1}{3}}\right)=x+6a_0x^{\frac{2}{3}}+\frac{1}{2}(3+24a_0^2+12a_1)x^{\frac{1}{3}}+\cdots$,

which gives $a_0=0$ and $a_1=-\frac{1}{4}$ etc.

Offline

 

#290 11. 02. 2019 14:45

stuart clark
Příspěvky: 907
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Thanks ↑ laszky:

Offline

 

#291 15. 02. 2019 11:13

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem.
Jednoduchy ale uzitocny problem.
Problem (63)

Urcite limitu postupnosti $\( \sqrt{n+\sqrt n})-\sqrt{n-\sqrt n} \) _{n\in {\Bbb N}}$

Vyriesit problem aspon tromi roznymi metodami.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#292 15. 02. 2019 16:18

krakonoš
Příspěvky: 376
Reputace:   16 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
Nejjednodušší způsob je zavest $\sqrt{n}=y$ a následně rozšířit zlomek pomocí vzorce rozdílu čtverců.Po vytknutí$\sqrt{y^{2}}$ ze jmenovatele dostaneme výsledek limity 1.
Druhý způsob je uvažovat místo n $\frac{1}{y}$, kde y konverguje k nule zprava ,následně použít po úpravě na zlomek LHospitalovo pravidlo, případně místo něho Taylorův rozvoj funkcí$\sqrt{1+y}$ a $\sqrt{1-y}$.
Pochopitelně vlastně vůbec nemá smysl mluvit o nějakém počtu způsobů, protože můžeme úvahy různě kombinovat (např lze  zavést y, použít rozdíl čtverců, pak LHospitala a nakonec přejít k limitě k nule).Podobně  jako nemá smysl se ptát na počet možností pro úpravu výrazů.

Offline

 

#293 15. 02. 2019 18:02

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:,
Nehovor, ze nerozumies o co ide.   
Uz ked riesit cvicenie priamo, potom napr. z pomocou L’Hôpitalovej metody, pouzitym rozvojov, a mnoho inych myslienok.
Zmysel ma tieto riesenia podrobne napisat.   

Pochopitelne sa hrat z jedinou metodou a ju napisat bielu, ciernu ci cervenu to ozaj nema zmysel.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#294 15. 02. 2019 18:13 — Editoval krakonoš (15. 02. 2019 18:14)

krakonoš
Příspěvky: 376
Reputace:   16 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
Vzdyt ale uvadim 3zpusoby podrobne.Nebo to chces uplne vsechno rozepsat???
Jde ti o  3 zpusoby,nebo o jeden,ve kterem jsou vsechny 3uvahy ?Protoze nekdy jsou i zpusoby,kde jsou obe uvahy zaroven,nebo zpusoby 3 ,kde je jen jedina vzdy z nich....

Offline

 

#295 15. 02. 2019 19:07

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem,
Tu je Problem (64).

Dokazte, ze $\cos 1$ je iracionalne cislo. 

Pripominam, ze $\cos 1= \sum_{k=0}^{+\infty}\frac {(-1)^k}{(2k)!}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#296 15. 02. 2019 19:15

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Limitny maraton

Cau ↑ krakonoš:,
Ano ty si na to odpovedala. Ak ta napadnu este ine cesty k rieseniu problème (63) tak nevahaj. Alebo chces aby som aj ja popisal ine myslienky k rieseniu? ( no ide,  pre nas, skor o zabavny problepm, ze )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#297 15. 02. 2019 22:13 — Editoval jardofpr (16. 02. 2019 12:18)

jardofpr
Příspěvky: 1154
Reputace:   78 
 

Re: Limitny maraton

ahoj ↑ vanok:

mohlo by stačiť k problému (64):



tak ma napadá, dá sa inak ako pomocou MacLaurina?

Offline

 

#298 15. 02. 2019 23:13 — Editoval vanok (16. 02. 2019 15:26)

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ jardofpr:,
Napisem ti tak moje riesenie.  ( v tvojom celkom nerozumiem riadku po (*),  no iste mozes to podrobnejsie vysvetlit ). 


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#299 16. 02. 2019 11:48 — Editoval krakonoš (16. 02. 2019 13:32)

krakonoš
Příspěvky: 376
Reputace:   16 
 

Re: Limitny maraton

↑ jardofpr:
Ahoj.

Prosim te,mne prijde,ze by se naopak melo zvolit alfa sude (parne???),pak bude alfa.q vzdy sude a vyjadritelne jako 2beta a nastane tak spor v rovnici (*),kde na leve strane je prirozene cislo.Prvni sumu lze vyjadrit jako cele cislo  volbou beta a tedy vlastne alfa,(dochazi vzdy ke kraceni vsech clenu) a druha suma je vzdy pro jakekoli beta v  rozmezi 0 a1,to vidim z rozepsani rady a pri dosazeni 2beta za alfa.q,ale tve upravove kroky zde u druhe sumy nevidim.A tak nastane spor.
Pokud by bylo naopak alfa liche,jak pises,tak muze byt beta liche pri lichosti q a,anevidim tam pak to kraceni te prvni sumy na cele cislo.

Jeste me napada jedna vec,ktera by mohla vest k zjednoduseniVynasobime-li cos1.(alfa.q)!,zustava rada konvergentni.Cili pri urcite velikosti beta budou muset zbytkove soucty v absolutni hodnote byt  mensi nez zadane epsilon.Cili vzdy najdeme takove beta,aby druha suma byla mezi nulou a jednickou(Bolzano Cauchyho podminka konvergence).
Jinak by to asi byl celkove dobry napad.

Offline

 

#300 16. 02. 2019 12:47

vanok
Příspěvky: 13267
Reputace:   722 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ jardofpr:,
Mne sa zda to moje riesenie menej namahave ako to tvoje, kde aby som ho poriadne precital by som potreboval ozaj vela casu. 
No urobim to, ked budem mat na to cas.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson