Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 10. 02. 2019 10:43

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2131
Reputace:   67 
 

Laplaceova rovnice

Zrovna v jednom fyzikálním vlákně řešíme, zdali může mít Laplaceova rovnice

$\triangle \varphi = 0$

s okrajovou podmínkou, že v nekonečné vzdálenosti od počátku je její hodnota nulová, tedy že

$\varphi_{(\infty )} = 0$

a asi ještě s požadavkem, že řešení musí v celém prostoru existovat (tj. nesmí tam být nějaké body nespojitosti)

zdali může mít i jiné řešení, nežli nulové v celém prostoru, nebo nemůže.

Nepotřebujeme důkaz, stačil by odkaz, nebo aspoň názor.

Offline

 

#2 10. 02. 2019 13:47

laszky
Příspěvky: 1372
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   105 
 

Re: Laplaceova rovnice

↑ MichalAld:

Ahoj, me napadaji napr. tyto 2 duvody:

1) Jelikoz je $L=-\Delta$ elipticky operator, plati pro nej srovnavaci princip:

$L\varphi\geq0\;\mbox{v}\ \Omega\;\;\& \;\; \varphi\geq0\;\mbox{na}\ \partial\Omega\quad\Rightarrow\quad \varphi\geq0\;\mbox{v}\ \overline{\Omega} $

Pouzije-li se stejne pravidlo na funkci $-\varphi$, ziskame

$\varphi\geq0\;\mbox{v}\ \overline{\Omega}\;\; \& \;\; \varphi\leq0\;\mbox{v}\ \overline{\Omega}\quad\Rightarrow\quad \varphi=0\;\mbox{v}\ \overline{\Omega}$

2) Napr. Greenova funkce pro Laplaceuv operator v $\mathbb{R}^2$ ma tvar

$G(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi}\,\sqrt{x_1^2+x_2^2}$

a reseni rovnice $\Delta \varphi = f\;\mbox{v}\ \mathbb{R}^2$ s $\varphi_{(\infty )} = 0$ lze vyjadrit ve tvaru

$\varphi(x_1,x_2)=\int_{\mathbb{R}^2} G(x_1-\overline{x}_1,x_2-\overline{x}_2)f(\overline{x}_1,\overline{x}_2)\,\mathrm{d}\overline{\boldsymbol{x}}$

Je-li $f=0$, je i $\varphi=0\;\mbox{v}\ \mathbb{R}^2$.

Offline

 

#3 10. 02. 2019 23:54

KennyMcCormick
Příspěvky: 1602
Reputace:   48 
 

Re: Laplaceova rovnice

Platí to i pro vektorový Laplaceův operátor?


Even if you take the best course of action, the universe is still allowed to say "So what?" and kill you.

Offline

 

#4 13. 02. 2019 10:24 — Editoval Bati (13. 02. 2019 10:25)

Bati
Příspěvky: 2174
Reputace:   169 
 

Re: Laplaceova rovnice

Ahoj, tady je jedno, jestli je to skalarni rovnice nebo vektorova, protoze laplac po slozkach je zase laplac a prava strana je nula.

Jinej zpusob jak to videt je, ze kazda harmonicka funkce splnuje mean value property:
$\varphi(x)=\frac1{r^{n-1}V_d}\int_{\partial B_r(x)}\varphi(y)\,\mathrm{d}S(y)$
Takze $|\varphi(x)|\leq \sup_{\partial B_r}|\varphi(y)|\to0$, $r\to\infty$, pro kazdy $x$.

Zadny pozadavek spojitosti neni potreba, mas hezkou pravou stranu a okrajovky, takze reseni existuje a je hladky

Offline

 

#5 13. 02. 2019 23:04

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2131
Reputace:   67 
 

Re: Laplaceova rovnice

Bati napsal(a):

Zadny pozadavek spojitosti neni potreba, mas hezkou pravou stranu a okrajovky, takze reseni existuje a je hladky

No jo, ale co když vezmu třeba funkci

$F(z) = \frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy} = \frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$


Rovnici by měla (krom bodu nula) splňovat - každá "slušná" komplexní funkce by ji měla splňovat, a nuly to v nekonečné vzdálenosti nabývá také. Akorát je tam ta nespojitost v bodě nula. Proto jsem předpokládal, že požadavek na spojitost v celé oblasti je nutný.

Offline

 

#6 14. 02. 2019 00:40

Bati
Příspěvky: 2174
Reputace:   169 
 

Re: Laplaceova rovnice

To je fakt...dalsi duvod, proc na celym $R^d$ je to hrozne divny...

Offline

 

#7 17. 02. 2019 15:02

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2131
Reputace:   67 
 

Re: Laplaceova rovnice

Bati napsal(a):

To je fakt...dalsi duvod, proc na celym $R^d$ je to hrozne divny...

Nepřijde mi, že by to příliš souviselo s tím, že je hledáme řešení v celém R^3.

Třeba ta funkce, co jsem zmínil,

$F(x,y) =  \frac{x}{x^2+y^2}$

bude řešením i na nějaké oblasti obsahující počátek, pokud si vhodně zvolíme okrajové podmínky (aby jí vyhovovaly).

Nevím samozřejmě, jestli pro libovolnou volbu okrajových podmínek dokážeme najít funkci, co má uvnitř té oblasti nějaký "pól" či jak se tomu říká. Ale pro nějaké okrajové podmínky to lze určitě.

Proto si myslím, že požadavek na spojitost v té oblasti, kde řešení hledáme, je podstatný. Nebo prostě požadavek na to, aby řešení existovalo v celé té oblasti.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson