Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 03. 2019 18:28

hexatetragon
Zelenáč
Příspěvky: 2
Pozice: student
 

Limita podílu obsahu kruhové úseče a vepsaného trojúhelníku

$\lim_{\frac{\pi R\alpha }{180^\circ }\to}\frac{\frac{1}{2}R^{2}(\frac{\pi \alpha }{180^\circ }-\sin \alpha )}{\frac{1}{2}bh}$Narazila jsem na komplikaci při řešení svého úkolu, zadání zní na první pohled jednoduše: Nalezněte limitu podílu obsahu kruhové úseče a rovnoramenného trojúhelníku vepsaného do úseče. Délka oblouku se má blížit nule.
Pomocí výchozího vztahu máme odvodit přibližný obsah kruhové úseče ve tvaru $\frac{2}{3}bh$
vyšlo mi tohle kde b je tětiva a h je výška vepsaného trojúhelníku R je poloměr.
$\lim_{\frac{\pi R\alpha }{180^\circ }\to}\frac{\frac{1}{2}R^{2}(\frac{\pi \alpha }{180^\circ }-\sin \alpha )}{\frac{1}{2}bh}$

Když jsem to limitila tak mi z toho vyšlo akorát něco opravdu divného a to toto:

$\lim_{\frac{\pi R\alpha }{180^\circ }\to}\frac{-\sin \alpha }{bh}$

mělo by se to prý nějak počítat přes L'Hospitala, ale fakt nevím jestli mi to nějak pomůže :/

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) hexatetragon)

#2 03. 03. 2019 20:03

laszky
Příspěvky: 1292
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   97 
 

Re: Limita podílu obsahu kruhové úseče a vepsaného trojúhelníku

↑ hexatetragon:

Ahoj, rekl bych, ze:

Delka oblouku: $x$
Odpovidajici vnitrni uhel: $\alpha=\frac{x}{r}$
Plocha vysece: $\frac{\alpha}{2\pi}\pi r^2 \; = \; \frac{1}{2}\alpha r^2 \; = \; \frac{1}{2}xr$
Plocha usece:  $\frac{1}{2}xr - r^2\sin\frac{x}{2r}\cos\frac{x}{2r} = \frac{r^2}{2}\left(\frac{x}{r}-\sin\frac{x}{r}\right)$
Plocha trojuhelniku vepsaneho do usece: $r^2\Bigr(1-\cos\frac{x}{2r}\Bigr)\sin\frac{x}{2r}$
Limita, kterou mas spocitat: $\lim\limits_{x\to0} \frac{\frac{r^2}{2}\left(\frac{x}{r}-\sin\frac{x}{r}\right)}{r^2\left(1-\cos\frac{x}{2r}\right)\sin\frac{x}{2r}}$

Online

 

#3 03. 03. 2019 20:09

zdenek1
Administrátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 11799
Reputace:   870 
Web
 

Re: Limita podílu obsahu kruhové úseče a vepsaného trojúhelníku

↑ hexatetragon:
Teda jak může student na matfyzu nacpat do vztahu, který bude limitit, stupně, to mi hlava nebere.
Nápověda
//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-03/39983_pic.png

Poměr obsahů
$\frac{S_u}{S_t}=\frac{\frac{r^2}{2}(\alpha -\sin \alpha )}{r^2\sin \frac\alpha 2(1-\cos \frac\alpha2)}$

a počítáš limitu, když $\alpha$ jede k nule


Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#4 03. 03. 2019 21:59 Příspěvek uživatele hexatetragon byl skryt uživatelem hexatetragon.

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson