Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 02. 03. 2019 22:23

zzzz1
Zelenáč
Příspěvky: 9
Reputace:   
 

Skalární součin

Potřebuji dokázat následující tvrzení

$\langle u,v\rangle=u^TAv$ je skalární součin $\Leftrightarrow a_{11}>0 \wedge \det A >0$. Kde $u,v \in \mathbb{R}^2$, A je reálná symetrická matice řádu 2.

Offline

 

#2 02. 03. 2019 23:48

vanok
Příspěvky: 13212
Reputace:   719 
 

Re: Skalární součin

Ahoj ↑ zzzz1:,
Pouzi definiciu skalarneho sucinu. 
Je to >>>>>pozri sem https://cs.m.wikipedia.org/wiki/Skalárn%C3%AD_součin


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#3 03. 03. 2019 00:08 — Editoval laszky (03. 03. 2019 00:51)

laszky
Příspěvky: 1292
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   97 
 

Re: Skalární součin

↑ zzzz1:

Ahoj, potrebujes ukazat, ze matice A je pozitivne definitni a podminka $a_{11}>0 \wedge \det A >0$ se nazyva Sylvesterovo kriterium.

V tomto 2D pripade pro vlastni cisla matice A plati

$\lambda_1\lambda_2=\det A>0$
$\lambda_1+\lambda_2=\mathrm{tr}\,A = a_{11}+a_{22} = a_{11}+\frac{\det A +a_{12}^2}{a_{11}}>0$

Z prvni nerovnosti vyplyva, ze vlastni cisla maji stejna znamenka, z druhe, ze jejich soucet je kladny. Jsou tedy obe dve kladna.

Online

 

#4 03. 03. 2019 00:44

vanok
Příspěvky: 13212
Reputace:   719 
 

Re: Skalární součin

Cau ↑ laszky:,
Ano ale asi sa tu caka priamo overit definiciu skalarneho sucinu. 
A overit ze dana podmienka je ekvivalentna z jeho definiciou. (Tu ju este raz primeniem jeho definiciu: skalarny sucin je symetricka bilinearna forma, definitne pozitivna na nejakom realnom vektorovom priestore   ).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#5 04. 03. 2019 12:04

Dáda78
Zelenáč
Příspěvky: 19
Reputace:   
 

Re: Skalární součin

Ahoj, tenhle příklad mě také zaujal, ale vůbec nevím, jak ho uchopit. Podle rad jsem pochopil, že radíte dokázat podmínky skalárního součinu, jako je symetrie, linearita atd. Jak do toho ale zakomponovat například ten determinant?

Offline

 

#6 05. 03. 2019 06:08 — Editoval vanok (05. 03. 2019 17:12)

vanok
Příspěvky: 13212
Reputace:   719 
 

Re: Skalární součin

Ahoj ↑ Dáda78:,
Vsak tu si v pripade matic typu 2x2. 
A tato $a_{11}>0 \wedge \det A >0$ podmienka znamena,   ze principalne minory (= subbdeterminanty ) su $>0$.

A vseobecne plati Sylvester-ove ktiterium o  kladnych principalnych ninoroch.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson