Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 04. 03. 2019 10:57

sqrt(211)
Příspěvky: 79
Škola: FEL ČVUT
Pozice: 2. semestr
Reputace:   
 

Derivace ve tvaru dy/dx

Zdravím, potřeboval bych vysvětlit jednu věc, se kterou mi google moc neporadil.

V prvním semestru nás naučili mechanicky derivovat způsobem
$f(x)=x^{2}$
$f´(x)=2x$

Teď ale došlo na používání tvaru
$\frac{dy}{dx}$
a skoro vůbec se nechytám.

Už jsem pochopil, že třeba ve fyzice se tímto tvarem specifikují veličiny na svislé a vodorovné ose grafu závislost  - logicky musí být dvě.

Ale už nerozumím tomu jakými pravidly se řídí operace, kdy třeba můžu vynásobit rovnici dx - pak mám na jedné straně rovnice dy a na druhé dx a ještě se tam objeví integrály. Co tento krok znamená? Jaký má význam dy a dx odděleně (ne ve zlomku dy/dx)?

Předem díky za objasnění!


Každý má právo na chybu (a já ho hojně využívám)

Offline

 

#2 04. 03. 2019 10:58

sqrt(211)
Příspěvky: 79
Škola: FEL ČVUT
Pozice: 2. semestr
Reputace:   
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

místo té chybové hlášky má být $f´(x)=2x$


Každý má právo na chybu (a já ho hojně využívám)

Offline

 

#3 04. 03. 2019 10:59

sqrt(211)
Příspěvky: 79
Škola: FEL ČVUT
Pozice: 2. semestr
Reputace:   
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

tedy potřetí - má ta, být f´(x) = 2x


Každý má právo na chybu (a já ho hojně využívám)

Offline

 

#4 04. 03. 2019 12:52

Jj
Příspěvky: 7450
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   532 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

↑ sqrt(211):

Hezký den.

Jde o Leibnizovo značení derivací. Pod tímto heslem se určitě dá na netu ledacos zajímavého najít, třeba Odkaz


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#5 04. 03. 2019 14:22

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 3980
Škola:
Reputace:   100 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

↑ sqrt(211): V tejto faze studia mozes pokojne akceptovat nasledujuce:

1. $\frac{dy}{dx}$ je to iste ako $y'$ (ak $y$ je funkcia premennej $x$).

2. Symboly $dy, dx$ nemaju nijaky zmysel, $\frac{dy}{dx}$ nie je zlomok, ale symbol pre derivaciu.

Naskor pri studiu fyziky a jej historie sa dozvies viac.

Offline

 

#6 04. 03. 2019 15:14

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5206
Reputace:   195 
Web
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

$f'(x)=2x$
Derivace se dělá pomocí apostrofu, nikoli čárky.

Offline

 

#7 04. 03. 2019 15:54 — Editoval MichalAld (04. 03. 2019 15:55)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1937
Reputace:   56 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

Pokud jde o samotné dx, dy - podle mě v rámci matematiky to představuje jen tzv. formální úpravy, tj takové, kterými se sice formálně dopracujeme k výsledku, ale nelze to brát jako matematické odvození - které je nutné udělat precizně, bez takovýchto obezliček.

Na druhou stranu, když nám to pomůže najít řešení diferenciální rovnice - není až takový problém pak ověřit, jestli to co jsme našli rovnici opravdu řeší.

Já vždycky slyšel, že matematici to neradi vidí.

Pokud jde o fyziku - tak si pod tím představujeme nějaké velmi malé elementy dané veličiny. A pravda je, že se s tím ve fyzice asi zachází né zcela korektně, z matematického hlediska. Třeba vzorec pro výpočet těžiště se běžně píše jako  (doufám, že to mám správně, hi)

$T = \frac{1}{m} \int_{}^{} \overrightarrow{r}dm$

což by znamenalo, že polohový vektor r je nějakou funkcí hmotnosti m, což j v podstatě blbost...

Nicméně když se do toho vhodně dosadí, jako že

$dm = \varrho dV = \varrho_{(x,y,z)} dxdydz$

tak je to už v pořádku. Ale zase je těžké si pod ním něco představit, zatímco ten první vztah - je to prostě součet přes všechna rdm, tedy malé kostičky toho tělesa (o malé hmotnosti dm) vynásobené její polohou.

Offline

 

#8 05. 03. 2019 17:57

krakonoš
Příspěvky: 345
Reputace:   14 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

↑ vlado_bb:
Ahoj.
Prosim tě o vysvětlení,že dx a dy nemají vůbec žádný význam.To že derivaci nelze brát jako zlomek je známé  a bere se to jako nešvar hlavně při používání substituce,kde se s tím v reáu tak pracuje.
Já ale myslela,že symboly dx dy mají význam  malých přírustků,například u totálního diferenciálu,kdy lze vlastně zanedbat poslední členy ve fundamentálním lemmatu,problém vidím  jen v tom,co   lze považovat za "malé",kdy ještě vlastně bude totální diferenciál dobrou aproximací pro vyjádření celkové změny.Nicméně ta tendence  brát dx jako malé přírustky tady je.

Offline

 

#9 06. 03. 2019 00:48

Bati
Příspěvky: 2147
Reputace:   168 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

Ahoj vsem,
myslim, ze tohle tema by si zaslouzilo trochu preciznejsi vyklad nez dosud, nebot symboly $dx_i$ znaci lokalni bazi tecneho prostoru, ktery je izomorfni $\mathbb{R}^n$. :-)

Pokud zvolis pevne bod $a$ a prijmes definici
$df(v):=\partial_v f=\lim_{t\to0}\frac1t(f(a+tv)-f(a))$
(smerova derivace), pak z toho uz vsechno dostanes prirozenym zpusobem. Kdyz si totiz vezmes $\phi_i(x):=x_i$, plati $d\phi_i(v)=v_i$, takze muzes dosadit:
$df(v)=\partial_{v}f=\nabla f\cdot v=\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i}v_i=\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i}d\phi_i(v)$, zkracene zapsano
$df=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}d\phi_i$
Odtud uz vidis, cemu by mel odpovidat objekt $dx_i$...$d\phi_i$. Prisne vzato je to tedy urcity funkcional na $\mathbb{R}^n$. Vsimni si, ze $d\phi_i(e_j)=\delta_{ij}$, takze prvky $d\phi_i$ tvori bazi dualniho prostoru k $\mathbb{R}^n$. Protoze dual k $\mathbb{R}^n$ je izomorfni zase $\mathbb{R}^n$, normalni lidi proste pisou
$df=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$
a chapou $dx_i$ spis jako vektory.

Co se tyce znaceni $\frac{df}{dx}$...staci si vsimnout ze v jedne dimenzi je to to same jako $\frac{\partial f}{\partial x_1}$, takze skutecne dostavame $df=\frac{df}{dx}dx$.

Krasa toho celyho je, ze se to da primo pouzit i k definici "diferencialu" na krivych plochach.

Offline

 

#10 06. 03. 2019 10:22 — Editoval Rumburak (06. 03. 2019 10:25)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8577
Reputace:   496 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

↑ sqrt(211):

Ahoj.  Výraz 

(1)        $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$

lze naopak pojmout i čistě formálně  (t.j. jako celek):

Nechť $y$ je funkcí reálné proměnné $x$ -  jde tedy o funkci tvaru $x \mapsto y(x)$. Má-li tato funkce
na nějakém (otevřeném) intervalu derivaci  $y'$, můžeme symbol (1) vnímat jen jako jiný zápis
symbolu $y'$.  Toto pojetí je velmi názorné, často se používá ve fyzice.

Offline

 

#11 06. 03. 2019 17:13

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1937
Reputace:   56 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

↑ Bati:

Tohle na matematice miluju. Nemusíme vědět, co to to dx, dy, dz je, ale když se je naučíme sčítat (dx + dx = 2dx) a násobit číslem, můžeme z nich složit vektor a provádět s ním všechny věci, co s každým jiným vektorem.

Nicméně když jsme u toho, zajímavé je, že dx či dy se samostatně vyskytovat mohou, zatímco $\partial x, \partial y$ se samostatně nevyskytují, přitom je to v podstatě to samé.

Offline

 

#12 06. 03. 2019 17:22

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1937
Reputace:   56 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

Já samozřejmě do matematického formalismu úplně nevidím (takže třeba ty distribuce mi trochu unikají), ale selským rozumem se to dá chápat dvěma způsoby:

První způsob je, že ty nekonečně malé elementy dx, dy nahradíme konečně malými, tedy

$\Delta y = y' \Delta x = \frac{\partial y}{\partial x} \Delta x$

a odpovídá to tečně v tom bodě, kde počítáme tu derivaci (případně tečné ploše u 2D funkcí, nebo tečné nadploše u funkcí více parametrů). A přesně v tom smyslu o tom uvažujeme - že ty elementy nepovažujeme za nekonečně malé, ale jen velmi, velmi malé.

No a druhý způsob, prostě máme na paměti, že výraz

$dy = y' dx = \frac{\partial y}{\partial x} dx$

má reálný význam jen když na něj aplikujeme operaci integrování, tedy

$\int dy = \int y' dx = \int \frac{\partial y}{\partial x} dx = y$

(schválně tam píšu ty parciální derivace, i když by tam pro funkci jedné proměnné vlastně neměly být).

Offline

 

#13 06. 03. 2019 18:45 — Editoval krakonoš (06. 03. 2019 19:22)

krakonoš
Příspěvky: 345
Reputace:   14 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

↑ MichalAld:
Ahoj.
To co v zaveru pises ,je  pro y rovno f(x)vlastne princip prevodu Stieltgesova integralu na Lebesgueuv s pomoci Radon Nykodemovy derivace.Ve statistice jde o derivaci distribucni funkce,a tak se vlastne  do vypoctu dostane hustota ( napr pri vypoctu stredni hodnoty).

Offline

 

#14 06. 03. 2019 19:28

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1937
Reputace:   56 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

krakonoš napsal(a):

↑ MichalAld:
Ahoj.
To co v zaveru pises ,je  pro y rovno f(x)vlastne princip prevodu Stieltgesova integralu na Lebesgueuv s pomoci Radon Nykodemovy derivace.Ve statistice jde o derivaci distribucni funkce,a tak se vlastne  do vypoctu dostane hustota ( napr pri vypoctu stredni hodnoty).

Hm.... obávám se, že jediné slovo, kterému z této věty určitě rozumím je to úvodní "ahoj", hi.

Offline

 

#15 06. 03. 2019 19:34 — Editoval MichalAld (06. 03. 2019 19:35)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1937
Reputace:   56 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

krakonoš napsal(a):

Já ale myslela,že symboly dx dy mají význam  malých přírustků,například u totálního diferenciálu,kdy lze vlastně zanedbat poslední členy ve fundamentálním lemmatu,problém vidím  jen v tom,co   lze považovat za "malé",kdy ještě vlastně bude totální diferenciál dobrou aproximací pro vyjádření celkové změny.

Já si nevzpomínám, že bych se někdy setkal s tím, že by se pomocí diferenciálu skutečně aproximovala nějaká funkce.

Vše, co jsem kdy potkal - tak se to nakonec stejně zintegrovalo.

Příklad - když se budeme snažit odvodit vzorec pro kinetickou energii. Máme Newtonův zákon:


$F =  ma = m\frac{dv}{dt}$

vynásobíme ds:

$Fds =  m\frac{dv}{dt}ds=m \frac{ds}{dt}dv=mvdv$

a zintegrujeme

$\int Fds = \int mvdv$

$W = \frac{1}{2}mv^2$

Jak by se to odvozovalo "matematicky korektně", to já nevím, takto se to běžně dělá ve fyzice.

Offline

 

#16 06. 03. 2019 20:41 — Editoval krakonoš (06. 03. 2019 21:01)

krakonoš
Příspěvky: 345
Reputace:   14 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

↑ MichalAld:

Mam na mysli jaka je  napriklad  zmena  objemu pri nepatrnych zmenach rozmeru telesa t.j.  parcialni derivace objemu podlex vynasobena prirustkem x plus parcialni derivace objemu podle y krat prirustek y atd...
A ta integrace u Stieltgesova integralu souvisi s tim,ze integrujeme podle funkce promenne x,a integral prevedeme na Lebesgeuv ,kde integrujeme podle x,to se probira v teorii miry a integralu.

Offline

 

#17 06. 03. 2019 21:30

Bati
Příspěvky: 2147
Reputace:   168 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

↑ MichalAld:
$\partial x$ je pro me ciste jen znaceni, pomoci kteryho opisuju definici derivace, tj. limitu. To,co se zavadi je diferencial $d$. A jak jsem vysvetlil nahore, je to zobrazeni z funkci do funkcionalu (netreba mluvit o distribucich - jsme jen v konecne dimenzi). Takze, aby to dostalo smysl, staci to otestovat vektorem, netreba integrovat.

Offline

 

#18 07. 03. 2019 11:34 — Editoval Rumburak (07. 03. 2019 13:10)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8577
Reputace:   496 
 

Re: Derivace ve tvaru dy/dx

↑ MichalAld:

Ahoj. 

Přesná  definice  symbolů $\text{d}x, \text{d}y$, obecněji $ \text{d}f$ , je-li $f$ vhodná funkce proměnné $x$, je následující:

Pro jednoduchost předpokládejme, že se pohybujeme v oboru reálných funkcí jedné reálné proměnné. 
Má-li funkce $f$ v pevně zvoleném bodě $a$ svého definičního oboru $I$ vlastní derivaci $f'(a)$, je tím
určeno lineární zobrazení

(1)                                            $h  \mapsto f'(a)\cdot h$ ,

kde $h$ je libovolné reálné číslo. Toto zobrazení má svůj význam.  Nazýváme ho diferenciálem funkce $f$
v bodě $a$ a značíme ho symbolem  $\text{d}f(a)$.

Konec definice.

Je-li $a$ pevně dáno nebo když jeho hodnota není podstatná,  což u mnohých úloh bývá, je zvykem psát
pouze  $\text{d}f$.
Je-li funkce vyjádřena  předpisem  tvaru $y = f(x)$ , pak místo $\text{d}f$ můžeme psát $\text{d}y$.
Jde-li navíc o funkci $y = f(x) = x$, píšeme místo $\text{d}y$ přímo $\text{d}x$ . Z těchto úvah plynou i zápisy
tvaru
                   $\text{d}y  = f'(a)  \text{d}x$ ,   $f'(a) = \frac{\text{d}y}{\text{d}x}(a)$ .

Tato symbolika je dílem tradice z dob, kdy se na formální náležitosti kladl menší důraz než dnes.
Pro praktické účely je však dostačující.

U funkcí více proměnných je to obdobné (ovšem přiměřeně složitější). Najdi si na webu pojem "diferenciál"
a dozvíš se více.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson