Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 03. 2019 07:40

stuart clark
Příspěvky: 931
Reputace:   
 

matrix equation

Number of solution of matrix equation $\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}
1 & 1\\ 
 2& 3
\end{pmatrix}$

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) byk7)

#2 15. 03. 2019 10:36 — Editoval rughar (15. 03. 2019 10:36)

rughar
Příspěvky: 419
Škola: MFF UK
Pozice: Vědecký pracovník
Reputace:   27 
 

Re: matrix equation


1 + 1 = 1 + 1
... a nebo taky ne

Offline

 

#3 15. 03. 2019 10:50

stuart clark
Příspěvky: 931
Reputace:   
 

Re: matrix equation

yes please explain me. Thanks

Offline

 

#4 15. 03. 2019 11:15

rughar
Příspěvky: 419
Škola: MFF UK
Pozice: Vědecký pracovník
Reputace:   27 
 

Re: matrix equation

Just solve system of 4 equations. There is not much to explain.

My first step:

$a^{2} + bc = 1 \\
b(a+d) = 1 \\
c(a+d) = 2 \\
bc + d^2= 3$

My second step:

$a^{2} + bc = 1 \\
bc + d^2= 3 \\
\Rightarrow \\
(d-a)(d+a) = 2
$

My third step:

$(d-a)(d+a) = 2 \\
b(a+d) = 1 \\
c(a+d) = 2 \\
\Rightarrow \\
2b = c = d-a
$

And then you have two quadratic equations.


1 + 1 = 1 + 1
... a nebo taky ne

Offline

 

#5 15. 03. 2019 11:24

vanok
Příspěvky: 13332
Reputace:   722 
 

Re: matrix equation

Hi ↑ stuart clark:,
You can also use that your matrix is diagonalizable


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#6 15. 03. 2019 11:59

stuart clark
Příspěvky: 931
Reputace:   
 

Re: matrix equation

Thanks ↑ rughar:

↑ vanok: can you please explain me Thanks

Offline

 

#7 15. 03. 2019 12:46

vanok
Příspěvky: 13332
Reputace:   722 
 

Re: matrix equation

Eigenvalue of $A^2$ are $2+\sqrt 3$ and $2-\sqrt 3$.
Also $A^2$ is diagonalizable to
$D^2=\begin{pmatrix}
2+\sqrt 3 & 0\\ 
 0& 2-\sqrt 3
\end{pmatrix}$.
And $D=\begin{pmatrix}
a_1 \sqrt{2+\sqrt 3} & 0\\ 
 0&a_ 2\sqrt{2-\sqrt 3}
\end{pmatrix}$.
$a_1,a_2 \in \{1,-1\} $.
Remark.
$A=PDP^{-1}$ with $P=\begin{pmatrix}
\frac 12(-1-\sqrt 3) &\frac 12(-1+\sqrt 3) \\ 
 1&1
\end{pmatrix}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#8 16. 03. 2019 16:00

stuart clark
Příspěvky: 931
Reputace:   
 

Re: matrix equation

Thanks ↑ vanok: please explain me I did not understand from $D^2=.$ onward

Offline

 

#9 17. 03. 2019 13:39 — Editoval vanok (17. 03. 2019 13:42)

vanok
Příspěvky: 13332
Reputace:   722 
 

Re: matrix equation

Hi ↑ stuart clark:,
You can verify that
$D.D=D^2=\begin{pmatrix}
2+\sqrt 3 & 0\\ 
 0& 2-\sqrt 3
\end{pmatrix}$.
( $A^2$ and $D^2$ are similar)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#10 23. 03. 2019 13:17

stuart clark
Příspěvky: 931
Reputace:   
 

Re: matrix equation

Thanks ↑ vanok:

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson