Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 11. 04. 2019 15:53

K-tan
Zelenáč
Příspěvky: 6
Pozice: student
Reputace:   
 

Macdonaldova funkce o základu 1/2

Z definice Macdonaldovy funkce : $x^{a}K_{a}(x)=2^{a-1}\int_0^\infty t^{a-1}e^{-t-(x^{2}/4t)}\mathrm{d}t$
, dokaž, že $K_{1/2}(x)=(\pi/(2x))^{1/2}e^{-x}$.

Víceméně mi jde o nápad jak vyřešit integrál$\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-(x^{2}/4t)}e^{-t}\mathrm{d}t$.

Povede se mi výraz upravit, tak že mám $\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-[(x^{2}/2\sqrt t)+\sqrt t]^{2}}\mathrm{d}t$  a exp(x), které jsem dodal převedu na druhou stranu rovnice, takže jej nyní neřeším.

Tuším, že v tom bude nějaké substituce nebo využití ekvivalence s nějakým rozdělením pravděpodobnosti. Nápady?

Díky

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) byk7)

#2 12. 04. 2019 12:09 — Editoval laszky (12. 04. 2019 12:18)

laszky
Příspěvky: 1399
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   112 
 

Re: Macdonaldova funkce o základu 1/2

↑ K-tan:

Ahoj, zkus nejdriv pouzit substituci $s=\sqrt{t}$ a pak zkus zjistit co ziskas zderivovanim (podle $s$) nasledujici funkce

$\varphi(x,s)=\mathrm{e}^x\mathrm{erf}\left(\frac{x}{2s}+s\right)-\mathrm{e}^{-x}\mathrm{erf}\left(\frac{x}{2s}-s\right)$,

kde $\mathrm{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z\mathrm{e}^{-r^2}\,\mathrm{d}r$

Online

 

#3 13. 04. 2019 10:50

K-tan
Zelenáč
Příspěvky: 6
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Macdonaldova funkce o základu 1/2

↑ laszky:

Díky za odpověď. Po zderivování sice dostanu výraz $\frac{2}{\pi}(2e^{-\frac{x^2}{4s^2}-s^2})$ a část v závorce je přesně co potřebuju dostat. Jak si ovšem poradit s mezemi integrálu. Za s se mi bude dost špatně dosazovat 0, nebo?

Offline

 

#4 13. 04. 2019 12:35

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4638
Škola: PřF MUNI
Reputace:   219 
 

Re: Macdonaldova funkce o základu 1/2

↑ K-tan: Problém s dosazením nuly už máš v původním zadání. Musíš to holt vzít přes limitu.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#5 13. 04. 2019 19:31

K-tan
Zelenáč
Příspěvky: 6
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Macdonaldova funkce o základu 1/2

Vyřešeno, díky.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson