Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 04. 2019 13:40

Chrochtik
Zelenáč
Příspěvky: 12
Reputace:   
 

Diofantické rovnice

Řeším tuto rovničku:
$x^{2} z + xz + 3yz + z = 1,$
Napadlo mě vytknout z. A pak výrazem co mi zbyl vydělit jedničku na pravé straně. S předpokladem že dělitel je různý od 1. Jenže pak moc nevím jak dál. Nějaké rady? :)

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Chrochtik)

#2 15. 04. 2019 14:52 — Editoval krakonoš (15. 04. 2019 15:21)

krakonoš
Příspěvky: 506
Reputace:   20 
 

Re: Diofantické rovnice

↑ Chrochtik:
AHOJ.
z musi byt rovno 1pripadne -1 pri podeleni prave strany z
Napr
X je 3, Y je -4,Z je 1
Mozna by bylo neco videt z upravy
Sqr(x-1) plus 3(x plus y) rovno 1.
Po osamostatneni y se tam bude rysovat  podminka,ze dve po sobe jdouci cisla jsou delitelna tremi....


tg(x)

Offline

 

#3 15. 04. 2019 15:38

Chrochtik
Zelenáč
Příspěvky: 12
Reputace:   
 

Re: Diofantické rovnice

Proč se z musí rovnat 1?! Asi to v tom nevidím.

Offline

 

#4 15. 04. 2019 15:46

krakonoš
Příspěvky: 506
Reputace:   20 
 

Re: Diofantické rovnice

↑ Chrochtik:

U diof rovnic se hleda celociselna reseni.
Kdyby bylo z napr 8,muze se pak sqr(x-1) plus 3(x plus y) rovnat 1/8 za predpokladu ze x,y jsou cela cisla??


tg(x)

Offline

 

#5 15. 04. 2019 17:55

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4638
Škola: PřF MUNI
Reputace:   219 
 

Re: Diofantické rovnice

↑ Chrochtik:

$x^2+x+3y+1=\frac1z$

jak píše ↑ krakonoš:, hledáme pouze celočíselná řešení. Tedy, pokud jsou x, y celá čísla, pak určitě na levé straně je něco celočíselného. No, a aby platila rovnost, musí být i pravá strana celočíselná. To ale bude pouze v případě $z=\pm1$.

Předpokládejme, že z=1, potom z vyjádření y=-(x^2+x)/3 plyne, že (x^2+x) je dělitelné třemi. Stačí proto rozlišit tři případy
- x=3k-1,
- x=3k,
- a x=3k+1.

Podobně pro případ z=-1 (toto ale zádné řešení nedá).


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#6 15. 04. 2019 20:27

Chrochtik
Zelenáč
Příspěvky: 12
Reputace:   
 

Re: Diofantické rovnice

1) point s mínus jedničkou chápu
2) point s x=3k+1 nechápu nemělo by to být že (x^2+x)=3k. Protože když za x dám 3k+1 tak mi v tom čitateli vyjde 9k^2+6k+3k+2 což dělitelné 3 nejde což je spor. Nebo mi něco uniká?!

Offline

 

#7 15. 04. 2019 21:18

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4638
Škola: PřF MUNI
Reputace:   219 
 

Re: Diofantické rovnice

↑ Chrochtik:

Máš pravdu v tom, že musí být x^2+x=3k pro nějaké k. Ale tím se motáš v kruhu, jen jsi místo neznámé y dostal neznámou k.

To, co navrhuju já, je, že vlastně projdeš všechny možné možnosti. Když je např. x=3k, tak dostáváme y=3k(k+1), což je zřejmě vyhovující, dostáváme tak řešení (x, y, z) = (3k, 3k(k+1), 1) pro libovolné celé číslo 'k'. Jak jsi sám správně ukázal, pro x=3k+1 nenajdeme celočíselné 'y'. A teď ještě zbývá možnost x=3k-1 (nebo 3k+2, to je jedno).

No, a ještě musíš udělat to samé pro z=-1.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#8 15. 04. 2019 22:07

Chrochtik
Zelenáč
Příspěvky: 12
Reputace:   
 

Re: Diofantické rovnice

Jasné už to vidím. Díky :)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson