Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 04. 2019 22:10

mb1303
Příspěvky: 39
Pozice: student
Reputace:   
 

Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

Hezký večer,

napadla mě následující úvaha, zkoušel jsem letmo hledat na internetu, ale na zdroj, který by vedl k odpovědi, jsem zatím nenašel. Kdyby někdo věděl, jak se s tím popasovat, budu rád za radu.

Každému trojúhelníku lze opsat i vepsat kružnici.

Čtyřúhelníku ABCD lze za podmínky, že protější úhly dávají dohromady 180°, opsat kružnici a za podmínky a+c=b+d vepsat kružnci. Čtyřúhelníků, kterým lze opsat i vepsat kružnici (nazvaných dvoustředové, tj. splňujících obě podmínky) je nekonečně mnoho.

Každému pravidelnému n-úhelníku lze opsat i vepsat kružnici.

Existuje však nepravidelný (konvexní) pětiúhelník (šestiúhelník,...), kterému lze vepsat i opsat kružnici zároveň?

Offline

 

#2 26. 04. 2019 13:41

vanok
Příspěvky: 13443
Reputace:   726 
 

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 26. 04. 2019 14:38

vanok
Příspěvky: 13443
Reputace:   726 
 

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

Ahoj,
A este toto je tiez velmi poucne
http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 26. 04. 2019 18:14

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2172
Reputace:   67 
 

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

Já jsem o tom ještě uvažoval skrze stupně volnosti.

Trojúhelník má (v rovině) 3 x 2 stupně volností - každý vrchol můžeme umístit do libovolného x,y bodu.
Čtyřúhelník pochopitelně 4 x 2, a N-úhelník N x 2 stupňů volnosti.

Pokud vrcholy 3, 4, nebo N úhelníku umístíme na kružnici (opsanou kružnici) přijdeme tím o 3, 4 či N stupňu volnosti, protože každý bod se může pohybovat jen ve směru té kružnice.

Ale samotná kružnice má 3 stupňe volnosti (x, y jejího středu a poloměr).

To samé můžeme udělat s kružnicí vepsanou, zase tím přijdeme o 3, 4 či N stupňů volnosti a získáme 3.

Takže výsledek je, že pokud N-úhelník bude mít opsanou i vepsanou kružnici, bude mít vždy jen 6 stupňů volnosti.

Pro trojúhelník to není žádné omezení, pro 4-úhelník to znamená, že si můžeme zvolit polohy jen 3 z jeho vrcholů, a čtvrtá už je tím pevně určená.

Pro N-úhelník to platí stejně, 3 vrcholy si můžeme zvolit, a ostatní už jsou dané. Můžeme si tedy zvolit třeba délku dvou sousedních stran a úhel mezi nimi - a zbytek vrcholů už je tím pevně určený.

Pokud bychom si zvolili polohu 4 nebo více vrcholů, tak už ty kružnice obecně nesestrojíme.

Offline

 

#5 26. 04. 2019 22:17

check_drummer
Příspěvky: 2695
Reputace:   73 
 

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

↑ mb1303:
Ahoj, co tento postup: Zvolíme kružnici k o středu S a poloměru r pevně a kružnici m o středu velmi blízkém S a poloměru jen o málo větším než r (ovšem tak, aby byla k celá "uvnitř" m). Začneme konstruovat hledaný mnohoúhelník tak, že zvolíme libovolný bod na m a pak už je celý tvar mnohúhelníku dán - musíme postupně konstruovat tečny ke k končící na m. Samozřejmě ne vždy tak získáme mnohoúhelník - ale pokud budeme spojitě zvětšovat poloměr kružnice m, tak si myslím, že takto budeme postupně získávat (pro vhodné poloměry) mnohoúhelníky a s rostoucím poloměrem kružnice m budou mít tyo mnohoúhelníky méně a méně vrcholů. Moje hypotéza je, že takto lze sestrojit hledaný mnohoúhelník s libovolným počtem vrcholů - které všechny budou mít pevnou vepsanou kružnici a pevný střed opsané kružnice.
Ale možná se pletu, není to zcela přesný důkaz.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#6 26. 04. 2019 23:19 — Editoval vanok (26. 04. 2019 23:38)

vanok
Příspěvky: 13443
Reputace:   726 
 

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

Pozdravujem ↑ MichalAld:, ↑ check_drummer:
To ste necitali moj odkaz ↑ vanok: o Poncelet-ovom porisme?
Vsak som vam ho vybral, preto, ze je tam vo viacerych pripadoch presne uvedeme n ako treba vybrat pre dane n ich vpisanu a opisanu aby sme mali bicentricky n-uholnik.

A naviac, vtedy ak zacnete rysovat v lubovolnom bode opisanej kruznice stranu n- uholnika tak aby sa dotykala vpisanej kruznice tak takyto n- uholnik je nezavysly na pociatocnom bode.   
( preto sa to toci na tom odkaze). 

Pripominam, ze prakticky v celej Europe sa to ucilo na SS tak pred polstorocim.   ( Zial ? teraz sa to uz neuci, no ale sa to najde v klasickych knihach Geometrie)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 27. 04. 2019 01:06

check_drummer
Příspěvky: 2695
Reputace:   73 
 

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

↑ vanok:
Ahoj, to jsem přehlédl, četl jsem jen ten první odkaz. Ten druhý odkaz mi připomíná:
http://mathworld.wolfram.com/SteinersPorism.html
Bylo by zajímavé zkoumat souvislost obou těchto pojmů.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#8 27. 04. 2019 09:53

vanok
Příspěvky: 13443
Reputace:   726 
 

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

Pozdravujem ↑ check_drummer:,
Ano je to zaujimave porovnat tie dve situacie. 
No tu som chcel ostat pri n-uholnikoch.   

Dalsie zaujimave porovnanie je problem tykajuci sa gulecniku ( billiard).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 28. 04. 2019 14:51

vanok
Příspěvky: 13443
Reputace:   726 
 

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

Pozdravujem,
Tu je dalsie zaujimave citanie, ( i ked presahuje ramec SS, pre vas-y matematicku kulturu ho tu pridavam) https://publications.ias.edu/sites/defa … plicit.pdf


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 29. 04. 2019 02:47

check_drummer
Příspěvky: 2695
Reputace:   73 
 

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

↑ vanok:
Ahoj, z jaké je to knihy? Děkuji.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#11 29. 04. 2019 16:58

vanok
Příspěvky: 13443
Reputace:   726 
 

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

Cau ↑ check_drummer:,
To neviem o aku knihu ide, nasiel som to na google.  (Hladal som porism of Poncelet)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson