Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 05. 2019 16:21

BarLou
Zelenáč
Příspěvky: 4
Škola: PdF MU
Pozice: student
Reputace:   
 

Vlastnosti relace dělitelnosti

Zdravím! Potřebuji poradit s určením vlastností dělitelnosti:
vím že je reflexivní (a/a lze), antisymetrická (a/b se nerovná b/a) - tedy není symetrická, tranzitivní (když a dělí b, b dělí c, pak a dělí c). Jak ale určím souvislost? Její definici moc nechápu.
PŘ: mám příklad 12:3
tedy pokud 12 se nerovná 3, pak nastává jedna z možností (aby realce byla SOUVISLÁ): 12:3 nebo 3:12. první případ (12:3) lze, takže je tedy souvislá?
Děkuji za pomoc s objasněním!

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) byk7)

#2 07. 05. 2019 19:09 — Editoval misaH (07. 05. 2019 19:10)

misaH
Příspěvky: 11105
 

Re: Vlastnosti relace dělitelnosti

↑ BarLou:

O akej množine sa uvažuje?

Všetkých prirodzených čísel?

Offline

 

#3 08. 05. 2019 01:53

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4653
Škola: PřF MUNI
Reputace:   220 
 

Re: Vlastnosti relace dělitelnosti

Mlčky budu předpokládat, že jde o (binární) relaci na množině celých čísel.

Jak se definuje relace dělitelnosti? "a dělí b", pokud existuje nenulové celé číslo k takové, že b = k*a.

Tvrdíš, že dělitelnost je reflexivní. To je pravda, ale proč? Jak to dostaneme z definice dělitelnosti?

Platí (-1)/1 = 1/(-1), takže tvoje zdůvodnění antisymetrie je špatně. Každopádně je to zmatené, takže se zase zeptám, jaká je definice antisymetrie? A použiváš ji opravdu správně?

Pozn.: Rozhodně obecně neplatí implikace "relace R antisymetrická => R není symetrická", ani její opačný směr. Exitují relace, které jsou současně symetrické a antisymetrické, a naopak existují i takové, které nejsou ani antisymetrické, ani symetrické.

Správně jsi určila tranzitivitu, ale jak to ukážeme z definice?

Nakonec souvislost. Aby dělitelnost byla souvislá, musí platit
$\forall a,b\in\mathbb Z\,:\,a\neq b\Rightarrow(a\mid b\vee b\mid a)$.
Z jednoho příkladu, nelze rozhodovat o nějaké globální vlastnosti. Co když to neplatí pro dvojici (1, 2)? Co třeba (8, 4), (21, 3), (28, 7) nebo (11111, 271)? Co takové (3, 2) nebo obecněji (n, n+1)?


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#4 08. 05. 2019 02:29

BarLou
Zelenáč
Příspěvky: 4
Škola: PdF MU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Vlastnosti relace dělitelnosti

Pardon, nejsem moc matematik, tohle jsou pro mne úplně nové pojmy:o/
prostě máme obecně určit vlastnosti (relace) dělitelnosti (na množině celých i přirozených čísel). Teprve se v tom učím trochu orientovat. Je pravda, že na tu antisymetrii, která nevylučuje symetrii jsem úplně zapomněla. Používám ji  tak, že když lze zaměnit na relaci pozici složek a nemá to na výsledek relace vliv, je symetrická. Když má (výsledek není z dané číselné množiny - většinou pracujeme jen s přirozenými čísly) je antisymetrická. někde jsem se i dočetla, že se AS a S nevylučují, ale nenašla jsem (nebo nepochopila) proč, tak jsem si to takto zjednodušila.
Dělitelnost je tedy reflexivní: každé číslo dělí samo sebe , výsledkem je jedna
antisymetrická: pro a různé od b, protože záměnou složek uspořádané dvojice získám jiný výsledek relace
tranzitivní: viz výše, té snad rozumím;o)
souvislá tedy není, to jsem už pochopila, moc děkuji: (3,2) a (2,3) - to mě vůbec nedošlo;o)

Omluvte mě, opravdu jsem v tomto nováček a už se v tom úplně ztrácím! Doufám, že jsem tu teď nenapsala další úplně blbosti:-/

Offline

 

#5 08. 05. 2019 11:11

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4653
Škola: PřF MUNI
Reputace:   220 
 

Re: Vlastnosti relace dělitelnosti

Mějme tříprvkovou množinu $S=\{a,b,c\}$ a dvě binární relace $R_1,R_2$.

(1) Nechť $R_1=\{(a,b),(b,a),(b,c)\}$ – tato relace není ani symetrická, ani antisymetrická.

(2) Uvažme $R_2=\{(a,a),(b,b),(c,c)\}$, pak $R_2$ je symetrická i antisymetrická. (Proč?)
_____

To zdůvodnění reflexivity nebude fungovat na celých číslech, protože tam máš ještě nulu.
Z definice dělitelnosti – existuje celé nenulové číslo 'k' takové, že 0 = k*0? Jistě, např. k=1. Ale rozhodně nemůžeš říct, že 0/0=1. (Prostě řečeno, neměla bys zaměňovat relaci dělitelnosti a existenci podílu, přestože spolu úzce souvisí.)

Pokusím se tu antisymetrii udělat pořádně.
Definice: Binární relace R na množině S se nazývá antisymetrická, pokud pro libovolné dva prvky a, b z množiny S platí
$\Bigl((a,b)\in R\ \wedge\ (b,a)\in R\Bigr)\Rightarrow a=b$.

Dá se na to dívat tak, že pokud jsou 'a' a 'b' různé prvky, pak je v antisymetrické relaci nejvýše jedna z dvojic (a, b), (b, a).
https://i.imgur.com/9pqJRgV.png

Ukažme tedy tu antisymetrii dělitelnosti na přirozených číslech, tj. předpokládejme, že platí a=m*b a současně b=n*a, kde m, n jsou celá nenulová čísla. Dosaďmě z první rovnosti do druhé, tedy máme b=n*(m*b)=(n*m)*b. No jo, ale jde o celá kladná čísla, takže můžeme vydělit béčkem, dostaneme 1=n*m a opět – protože jsou to kladná celá čísla – máme m=n=1, takže a=m*b=1*b=b. A tím je důkaz antisymetrie u konce. :)

Podobně by se dělal důkaz tranzitivity.

Pokusím se to shrnout,
relace dělitelnosti na přirozených číslech
- je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní,
- není souvislá.

Relace dělitelnosti na celých číslech
- je reflexivní a tranzitivní,
- není antisymetrická (proč?),
- není souvislá.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#6 08. 05. 2019 19:48

BarLou
Zelenáč
Příspěvky: 4
Škola: PdF MU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Vlastnosti relace dělitelnosti

Děkuji, děkuji na tisíckrát, je mi to jasnější, budu se tím prolouskávat dál;o) Děkuji!

Offline

 

#7 09. 05. 2019 19:01

BarLou
Zelenáč
Příspěvky: 4
Škola: PdF MU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Vlastnosti relace dělitelnosti

Ještě k té tvé otázce PROČ u dělitelnosti na celých číslech....předpokládám, že jsi asi čekal odpověď;o) Tak jsem na to nepřišla zatím;o)

Offline

 

#8 31. 05. 2019 02:44

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4653
Škola: PřF MUNI
Reputace:   220 
 

Re: Vlastnosti relace dělitelnosti

↑ BarLou: Jestli je to ještě stále aktuální... :) Tak problém tam dělají záporná čísla, např. $1\mid(-1)$ a $(-1)\mid 1$, ale $1\neq-1$.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson