Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 01. 2019 18:18

Boka
Zelenáč
Příspěvky: 23
Reputace:   
 

Užití Laplaceovy transformace

Dobrý den,

Je prosím pěkně možné využít Laplaceovu transformaci podobně jako Fourierovu transformaci? Uvedu to konkrétněji. Fourierovou transformací lze z časového signálu získat jeho dominantní frekvence. Lze nějak podchytit, aby podobně fungovala i Laplaceova transformace, tedy ve smyslu, aby výsledkem transformace signálu, byla řada dominantních exponenciálních funkcí?
Já vždy aplikací LT dostanu hladkou funkci, což je asi i logické, ale nevíte, jak by to šlo ošetřit?

Předem děkuji za ochotu a nápady.

Offline

 

#2 07. 05. 2019 15:20

Marty66
Zelenáč
Příspěvky: 1
Reputace:   
 

Re: Užití Laplaceovy transformace

↑ Boka:
LT vyuzijeme pri reseni diferencialnich rovnic n teho radu ktere jsou linearni. FT se pouziva na transformaci signalu. Transformace se jen zridka potkaji ve stejnem vyuziti. Pokud stojite o presnejsi vysvetleni, reknete.

Offline

 

#3 08. 05. 2019 14:28

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2131
Reputace:   67 
 

Re: Užití Laplaceovy transformace

↑ Boka:

Když se podíváš na definiční vztahy Fourierovy a Laplaceovy transformace, tak ony jsou skoro stejné. Takže i získaný výsledek je zase skoro stejný, nemůže být nějaký principiálně jiný.

Je třeba si uvědomit, že to "p" či "s" v Laplaceově transformaci je komplexní číslo, a né reálné. Zatímco ve Fourieorově transformaci je to $i\omega$, což je vždy čistě imaginární číslo (když se na to takto díváme).

Tenhle drobný rozdíl má samozřejmě z matematického hlediska dalekosáhlé důsledky, ale z praktického zas až tak moc né.

Pokud například aplikujeme na soustavu lineárních dif. rovnic jednu nebo druhou transformaci, dostaneme ten samý obraz, jen v jednom případě je parametrem s, a ve druhém $i\omega$.

Podobné je to i v případech, kdy aplikujeme transformaci přímo na nějakou funkci. Jejich obrazy jsou (za jistých podmínek) zase stejné.

Píši tedy "za jistých podmínek", protože definice FT je od minus nekonečna do plus nekonečna, zatímco LT je od nuly do nekonečna. Já přesně nevím, jaké z toho plynou odlišnosti.

Z praktického hlediska je to jasné - v radiotechnice, kde analyzujeme periodické (či kvazi-periodické) signály není problém předpokládat, že trvají pořád.

Zatímco pokud chceme analyzovat přechodové děje, hodí se nám, že začaly v čase nula, a nemusíme řešit, co tomu předcházelo.



Vzhledem k tomu, jak s tím po matematické stránce operujeme, můžeme Fourierův obraz nějaké funkce interpretovat jako její "spektrum", protože parametr $\omega$ je reálné číslo (či $i\omega$ je čistě imaginární číslo), a můžeme to tedy chápat jako součet jednotlivých "sinusovek".

To u Laplaceovy transformace takto jednoduché není, protože jednak to "s" je komplexní číslo, a těch je celá rovina, a jednak nesčítáme to přes všechna existující "s" (narozdíl od FT, kde to sčítáme přes všechna existující $\omega$), ale sčítáme to jen přes jistá "s", podél nějaké křivky.  A z vlastností funkcí v komplexním oboru plyne, že volba té křivky, podél které to sčítáme může být (do jisté míry) libovolná. Takže nemůžeme takto jednoduše říct, že sčítáme "nějaké exponenciály", když si je můžeme částečně zvolit.

Offline

 

#4 08. 05. 2019 14:40

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2131
Reputace:   67 
 

Re: Užití Laplaceovy transformace

Další takovou zásadní odlišností je, že Fourierův obraz lze (přibližně) spočítat i numericky (máme DFT či FFT), to u Laplaceovy transformace není. Aspoň to teda není úplně běžné. Navíc by ten obraz musel být 2D, což tak jako ztrácí na půvabu.

LT má zase svůj půvab v tom, že že pro funkce, které můžeme dostat při řešení lineárních dif. rovnic (což jsou ty exponenciály a sinusovky) můžeme provést inverzní transformaci velmi jednoduše, pomocí tzv. Reziduové věty, jestli si dobře vzpomínám - což jde dělat v podstatě z hlavy.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson