Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 05. 2019 18:21 — Editoval Anonymystik (13. 05. 2019 22:43)

Anonymystik
Příspěvky: 560
Reputace:   45 
 

Limita mocninného průměru

Pro $n \in \mathbb{Z} - \{ 0 \}$ a kladná reálná reálná čísla $a_1, a_2, ..., a_m$ lze definovat mocninný průměr $P_n := \sqrt[n]{\frac{a_1^n + a_2^n + ... + a_m^n}{m}}$. Například pro $n=1$ se jedná o průměr aritmetický, pro $n=2$ o průměr kvadratický, pro $n=-1$ o půrměr harmonický. Dokonce lze ukázat, že pokud zafixujeme čísla $a_1, a_2, ..., a_m$, pak výraz $P_n$ je neklesající spolu s číslem $n$. Například pro $n=1$ a $n=2$ se jedná o nerovnost mezi aritmetickým a kvadratickým průměrem (kvadratický je vždy aspoň roven aritmetickému).
--
Pro číslo $n=0$ se ukáže, že definice průměru nedává dobrý matematický smysl. Na druhou stranu pokud výraz přepíšeme způsobem $P_n = \bigg(\frac{a_1^n + a_2^n + ... + a_m^n}{m} \bigg)^{\frac{1}{n}}$, lze ho spojitě dodefinovat pro všechna $n \in \mathbb{R} - \{ 0 \}$. Lze tedy uvážit limitu tohoto tvaru: $P_0 := \lim_{n \to 0} P_n$. Jaká je limitní hodnota takového výrazu? A jaké zajímavé nerovnosti se k tomuto "průměru" (a jiným zmíněným průměrům) vztahují? Asi to jde snadno vygooglit, ale pokud to neznáte, zkuste vyřešit sami, vyjde hezky a překvapivě. Fakt samotný jsem dlouho znal, ale dneska v tramvaji jsem si poprvé dal tu práci a dokázal si ho.


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#2 13. 05. 2019 20:46

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4643
Škola: PřF MUNI
Reputace:   219 
 

Re: Limita mocninného průměru

Taky by nebylo od věci podívat se na limity v $\pm\infty$. :)


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#3 13. 05. 2019 23:44

Bati
Příspěvky: 2198
Reputace:   171 
 

Re: Limita mocninného průměru

↑ Anonymystik:
Vyslo mi

Offline

 

#4 14. 05. 2019 11:40

Anonymystik
Příspěvky: 560
Reputace:   45 
 

Re: Limita mocninného průměru

↑ Bati: vyšlo správně, ale ta úprava jednoho výrazu na druhý je na mě asi "moc rychlá". Já osobně to teda spočetl na asi 6 kroků, které ale lze snadno sledovat. :-)


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#5 14. 05. 2019 12:48

Bati
Příspěvky: 2198
Reputace:   171 
 

Re: Limita mocninného průměru

↑ Anonymystik:
Jo, ja tam mel taky nejake mezikroky, ale zprava doleva je to celkem jasne. Zajimalo by me jestli a jak se da prumer 3 cisel prevest na prumer dvou.

Offline

 

#6 14. 05. 2019 21:51

check_drummer
Příspěvky: 2695
Reputace:   73 
 

Re: Limita mocninného průměru

Ahoj, co přesně myslíš následující poznámkou?

Bati napsal(a):

Zajimalo by me jestli a jak se da prumer 3 cisel prevest na prumer dvou.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#7 15. 05. 2019 16:57

Bati
Příspěvky: 2198
Reputace:   171 
 

Re: Limita mocninného průměru

↑ check_drummer:
Jestli se da nejak elegantne pouzit znalost $P_0(a_1,a_2)$ k vypoctu $P_0(b_1,b_2,b_3)$

Offline

 

#8 16. 05. 2019 21:41

check_drummer
Příspěvky: 2695
Reputace:   73 
 

Re: Limita mocninného průměru

↑ Bati:
A je povoleno využít toho, že víme, že je to geometrický průměr, nebo ne? :-)


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#9 16. 05. 2019 23:05

Bati
Příspěvky: 2198
Reputace:   171 
 

Re: Limita mocninného průměru

↑ check_drummer:
Pro $P_0(a_1,a_2)$ jo, pro $P_0(b_1,b_2,b_3)$ ne

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson