Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 17. 06. 2019 21:59

honza98
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

vyšetření konvergence řady s parametrem

Dobrý den, potřeboval bych pomoc s vyšetřením konvergence následující řady: $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n+1}\cdot n}{4^{n}\cdot n^{2}+(-5)^{n}\cdot n+6n^3}$.                                                             
Výraz jsem si upravil takto:  $\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\cdot \frac{x^{n+1}}{n^2\cdot 5^{n}\cdot ( (-1)^n\cdot 1/n \cdot 4^{n}/5^n +1/n^2+6/5^n\cdot (-1)^n)}$. A pomocí kombinace limitního srovnávacího kritéria v kombinaci s odmocninovým kriteriem jsem zjistil, že není absolutně konvergentní pro $|x|>5$, ale nevím jak vyšetřit konvergenci podle Liebnizova kritéria, a potom celkově jak vyšetřit konvergenci pro $|x| \le 5$. Výsledek je, že řada je absolutně konverguje pro $|x| <  5$ a diverguje pro $|x| \ge 5$ .

Offline

 

#2 18. 06. 2019 09:39

jarrro
Příspěvky: 4990
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: vyšetření konvergence řady s parametrem

polomer konvergencie je 5 napr. podľa podielového kritéria teda stačí skúmať
5 a -5
$\frac{5^{n+1}}{4^{n}\cdot n+(-5)^{n}+6n^2}=\frac{5\(-1\)^{n}}{\(-\frac{4}{5}\)^{n}\cdot n+1+6\frac{n^2}{\(-5\)^n}}\not{\!\!\to}0\nl\frac{\(-5\)^{n+1}}{4^{n}\cdot n+(-5)^{n}+6n^2}=\frac{-5}{\(-\frac{4}{5}\)^{n}\cdot n+1+6\frac{n^2}{\(-5\)^n}}\not{\!\!\to}0$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 18. 06. 2019 15:59

honza98
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

Re: vyšetření konvergence řady s parametrem

Díky za odpověď, ale pojem poloměr konvergence jsme na hodinách neměli zavedený. Omlouvám se měl jsem to zapsat do úvodního příspěvku, ale na přednáškách byli jenom: nutná podmínka konvergence, srovnávací kritérium, limitní srovnávací kritérium, podílové kritérium, odmocninové kritérium a liebnizovo kritérium.

Offline

 

#4 18. 06. 2019 16:18

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4228
Škola:
Reputace:   104 
 

Re: vyšetření konvergence řady s parametrem

↑ honza98: To, co pises, suvisi s ciselnymi radmi, ale uloha, ktoru tu uvadzas, hovori o funkcionalnom rade, konkretne mocninnom. Je mozne, ze pojem polomeru konvergencie ste na prednaske nemali (aj ked dost pochybujem) - na vysokej skole nemusi prednaska pokryvat vsetko, co treba na skuske vediet. Zvysok treba dostudovat z literatury.

Offline

 

#5 18. 06. 2019 17:22

honza98
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

Re: vyšetření konvergence řady s parametrem

Pojem poloměr konvergence jsme si skutečně na přednášce neuváděli, protože i kdybych si to špatně pamatoval z hodiny, tak v učebnici/skriptech, která je určená přesně pro tento předmět a obsah je víceméně přesný přepis přednášky ,tento pojem není. Zkouška, z které je tento příklad, je postavená tak, že k řešení je potřeba umět, právě věty a definice z této učebnice. Pojem funkcionální řada, minimálně v té kapitole, z které je test složený, také v učebnici není, možná jsem měl už do začátku uvést znění úlohy. Za úkol je vyšetřit konvergenci a absolutní konvergenci řady v závislosti na parametru x.

Offline

 

#6 18. 06. 2019 23:13 — Editoval krakonoš (19. 06. 2019 00:05)

krakonoš
Příspěvky: 555
Reputace:   20 
 

Re: vyšetření konvergence řady s parametrem

↑ honza98:
Ahoj
Misto Leibnizova kriteria bych asi uvazovala o konvergentni majorante.
Citatele i jmenovatele bych vydelila n,dale bych vynasobila citatele i jmenovatele minus jedna na ntou,vytkneme pet na ntou.Absolutni hodnotu clenu lze shora tak odhadnout clenem mocninne rady krat zlomek,ktery je podle me shora i zdola omezeny kladnou konstantou,pocinaje nejakym n.To usuzuji z limity jmenovatele,ktera je 0plus 1 plus 0.
Na Abelovo kritetium-obdoba Leibnize, tam je sice videt konvergentni rada,neni zde ale monotonie druheho clenu rady.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#7 19. 06. 2019 17:08

honza98
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

Re: vyšetření konvergence řady s parametrem

A nevychází tam v tom jmenovateli nula krát nekonečno při výpočtu limity?

Offline

 

#8 19. 06. 2019 18:07 — Editoval krakonoš (20. 06. 2019 09:06)

krakonoš
Příspěvky: 555
Reputace:   20 
 

Re: vyšetření konvergence řady s parametrem

↑ honza98:

$\frac{n\cdot x^{n+1}}{4^{n}\cdot n^{2}+(-5)^{n}.n+6n^{3}}=$$x\cdot (\frac{x}{5})^{n}\cdot (-1)^{n}\cdot \frac{1}{(-\frac{4}{5})^{n}\cdot n+1+6n^{2}\cdot( \frac{-1}{5})^{n}}$

$\lim_{n\to\infty }(\frac{4}{5})^{n}\cdot n=\lim_{n\to\infty  }n\cdot e^{-n\cdot log(\frac{5}{4})}=0$
$\lim_{n\to\infty }(\frac{-4}{5})^{n}\cdot n=0$ (vyplývá to z věty o sevřené limitě -obdoba $\lim_{n\to\infty }\frac{(-1)^{n}}{n}$)
Podobně  u limity výrazu $6n^{2}\cdot (\frac{-1}{5})^{n}$. Opět to vede k nulové limitě.
Takže existuje takové $n_{0}$, že zlomek 1/..... bude omezen shora kladnou konstantou K.
Lze tedy zadanou sumu rozdělit na dvě , kde první je konečná , má konečný počet členů a druhá běží od $n_{0}$ do nekonečna. U této druhé nekonečné sumy lze přejít ke konvergentní majorantě, protože
$\sum_{n_{0}}^{\infty }|x\cdot (\frac{x}{5})^{n}\cdot (-1)^{n}\cdot \frac{1}{(\frac{-4}{5})^{n}\cdot n+1+6n^{2\cdot (\frac{-1}{5})^{n}}}|$$=<\sum_{n_{0}}^{\infty }K\cdot x\cdot (\frac{x}{5})^{n}$
Nepodařilo se mi správně napsat $6n^{2}\cdot (\frac{-1}{5})^{n}$ uvnitř absolutní hodnoty


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson