Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 06. 2019 23:52 — Editoval PakoNaKvadrat (24. 06. 2019 00:55)

PakoNaKvadrat
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

Správná úprava matematického výrazu

Zdravím, nevěděl jsem, kam to dát. Chtěl jsem se zeptat, který z následujících postupů při úpravě výrazu x^(a/b) je korektní a který nikoliv a hlavně proč tomu tak je?

$x^{\frac{a}{b}} = x^{\frac{1}{b}\cdot{a}} = (x^\frac{1}{b})^{a} = {\sqrt[b]{x}}^{a}$

$x^{\frac{a}{b}} = x^{\frac{1}{b}\cdot{a}} = (x^{a})^\frac{1}{b} = \sqrt[b]{x^{a}}$

Předem děkuji. :)

Offline

 

#2 24. 06. 2019 00:23

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4341
Škola:
Reputace:   107 
 

Re: Správná úprava matematického výrazu

↑ PakoNaKvadrat: Ak vsetky uvedene vyrazy existuju, obe upravy su v poriadku.

Offline

 

#3 24. 06. 2019 01:00 — Editoval PakoNaKvadrat (24. 06. 2019 01:10)

PakoNaKvadrat
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

Re: Správná úprava matematického výrazu

To mi právě nesedí. Viz následující situace. Mějme záporný základ mocniny a lichý exponent, čili:

$(-|x|)^{2k-1}$

Rozšiřme si člen 2k-1:

$(-|x|)^{\frac{2(2k-1)}{2}}$

Rozepišme si výraz takto:

$(-|x|)^{\frac{1}{2}\cdot 2(2k-1)}$

A teď nastává ta zajímavá část. Pokud budeme postupovat podle první navržené úpravy, dostaneme:

$(-|x|)^{\frac{1}{2}\cdot 2(2k-1)} = ((-|x|)^{\frac{1}{2}})^{2(2k-1)} = \sqrt{-|x|}^{2(2k-1)}$

Ale v případě užití druhé úpravy zjistíme, že:

$(-|x|)^{\frac{1}{2}\cdot 2(2k-1)} \neq ((-|x|)^{2(2k-1)})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{(-|x|)^{2(2k-1)}}$

Offline

 

#4 24. 06. 2019 01:05 — Editoval PakoNaKvadrat (24. 06. 2019 01:15)

PakoNaKvadrat
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

Re: Správná úprava matematického výrazu

Schválně si za x i k dosaďte 1.

Pak podle prvního způsobu úpravy platí:

$(-1)^{1} = (-1)^{\frac{2}{2}} = (-1)^{\frac{1}{2}\cdot 2} = ((-1)^{\frac{1}{2}})^{2} = \sqrt{-1}^{2}$

Ovšem při druhém postupu:

$(-1)^{1} = (-1)^{\frac{2}{2}} = (-1)^{\frac{1}{2}\cdot 2} \neq ((-1)^{2})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{(-1)^{2}}$

Offline

 

#5 24. 06. 2019 07:12

zdenek1
Administrátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 11888
Reputace:   876 
Web
 

Re: Správná úprava matematického výrazu

↑ PakoNaKvadrat:
Tak si přečti ještě jednou

Ak vsetky uvedene vyrazy existuju


Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#6 24. 06. 2019 09:32 — Editoval PakoNaKvadrat (24. 06. 2019 10:33)

PakoNaKvadrat
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

Re: Správná úprava matematického výrazu

PakoNaKvadrat napsal(a):

... a hlavně proč tomu tak je?

↑ zdenek1: Děkuji ti za velice podrobné vysvětlení, proč nelze výraz tím kterým způsobem upravovat.

Offline

 

#7 24. 06. 2019 13:33

edison
Příspěvky: 1545
Reputace:   34 
 

Re: Správná úprava matematického výrazu

Tak ono na tom vážně není nic moc k podrobnému vysvětlování.

PakoNaKvadrat napsal(a):

Pak podle prvního způsobu úpravy platí:
$(-1)^{1} = (-1)^{\frac{2}{2}} = (-1)^{\frac{1}{2}\cdot 2} = ((-1)^{\frac{1}{2}})^{2} = \sqrt{-1}^{2}$

Ovšem při druhém postupu:
$(-1)^{1} = (-1)^{\frac{2}{2}} = (-1)^{\frac{1}{2}\cdot 2} \neq ((-1)^{2})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{(-1)^{2}}$

Prostě $\sqrt{-1}$ je chyba, stejně jako třeba $\frac{125}{0}$ a z postupu, který takové kroky obsahuje, pak může vyjít jakýkoli nesmysl. Prostě všechny kroky musejí mít definiční obory takové, aby s daným vstupem mohly fungovat.

Samozřejmě, může se stát, že nějaké takové věci potřebujeme, ale pak jsou zas potřeba limity, komplexní a pod.

Offline

 

#8 24. 06. 2019 18:02 — Editoval misaH (24. 06. 2019 18:04)

misaH
Příspěvky: 11016
 

Re: Správná úprava matematického výrazu

$\sqrt{-1}^{2}$, presnejšie teda asi $\(\sqrt{-1}\)^{2}$

obsahuje výraz $\sqrt{-1}$, ktorý v reálnych číslach nemá zmysel (to jest nie je to číslo, neexistuje).

Miesto irónie radšej bolo treba rozmýšľať, kvôli ktorému výrazu vlado_bb svoj text napísal, nezdá sa ti?

Online

 

#9 24. 06. 2019 18:51 — Editoval PakoNaKvadrat (24. 06. 2019 19:00)

PakoNaKvadrat
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

Re: Správná úprava matematického výrazu

Díky za odpovědi. Ironie rozhodně nebyla směrována na uživatele vlado_bb. Jinak ano, souhlasím, že výraz $\sqrt{-1}$ má samozřejmě smysl v komplexní rovině, zatímco v reálných číslech nikoliv. Jde mi ovšem spíše obecně o ten postup. Přece platí, že $(\sqrt[b]{x})^a = (x^{\frac{1}{b}})^a = x^\frac{a}{b}$ a $\sqrt[b]{x^a} = (x^{a})^\frac{1}{b} = x^\frac{a}{b}$, ne?

Pomineme-li tedy případ záporného čísla pod sudou odmocninou, proč neplatí rovnost mezi $(-1)^{\frac{2}{2}}$ a $\sqrt{(-1)^{2}}$?

Offline

 

#10 24. 06. 2019 19:57

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5290
Reputace:   201 
Web
 

Re: Správná úprava matematického výrazu

Offline

 

#11 24. 06. 2019 21:06

edison
Příspěvky: 1545
Reputace:   34 
 

Re: Správná úprava matematického výrazu

PakoNaKvadrat napsal(a):

Pomineme-li tedy případ záporného čísla pod sudou odmocninou, proč neplatí rovnost mezi $(-1)^{\frac{2}{2}}$ a $\sqrt{(-1)^{2}}$?

To je jako napsat "Pomineme-li že sklo je nevodivé, proč skleněnou tyčku nemůžu použít jako drát k napájení žárovky?"

Prostě to - pod sudou odmocninou je podstata problému.

Offline

 

#12 24. 06. 2019 21:25

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5290
Reputace:   201 
Web
 

Re: Správná úprava matematického výrazu

↑ edison: Vyčisti si monitor, ptá se na ten druhej případ, kde není záporný číslo pod sudou odmocninou.

Offline

 

#13 24. 06. 2019 23:13

PakoNaKvadrat
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

Re: Správná úprava matematického výrazu

↑ Stýv: Díky moc. :) Teď už to dává smysl.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson