Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 06. 2019 12:05 — Editoval Spider97 (20. 06. 2019 12:06)

Spider97
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: Pedagogická fakulta
Pozice: Student
Reputace:   
 

Transcendentní prvek nad okruhem

Ahoj, prosím Vás, vysvětlil by mi někdo co je to transcendetní prvek nad okruhem? Na přednáškách to jen rychle přeletěl, ve skriptech je k tomu jedna věta, ale v úkolu jej mám zadaný na vypočítání.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Spider97)

#2 20. 06. 2019 12:34

jarrro
Příspěvky: 4997
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

Prvok rozšírenia (nadokruhu)(malo by byť uvedené alebo z kontextu úlohy jasné ktoré rozšírenie sa myslí), ktorý nie je koreňom žiadneho polynómu s koficientami z pôvodného okruhu.
Napríklad čísla ako $\pi$ alebo $\mathrm{e}$ sú transcendentné nad okruhom racionálnych čísel


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 20. 06. 2019 14:30

Spider97
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: Pedagogická fakulta
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

↑ jarrro: Děkuji za vysvětlení. Takže když mám obecně zadaný příklad, že $t$ je transcendetní prvek nad okruhem A $(A,+,\cdot )$ a mám dokázat, že i $(t+1)$ je transcendetní nad okruhem A, jak mám začít prosím?

Offline

 

#4 20. 06. 2019 18:48

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4643
Škola: PřF MUNI
Reputace:   219 
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

↑ Spider97: Sporem, předpokládej, že t+1 není transcendentní, pak existuje polynom, jehož je kořenem...


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#5 20. 06. 2019 21:17 — Editoval vanok (20. 06. 2019 21:44)

vanok
Příspěvky: 13419
Reputace:   726 
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

Mala poznamka.
Je uzitocne vediet aj ako su charakterizovane algebricke cisla.   A pochopitelne aj vediet ich (aspon zakladne) vlasnosti.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 21. 06. 2019 07:12

jarrro
Příspěvky: 4997
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

Nech$t+1$ je koreňom polynómu $P$
Uvažuj o polynóme $Q: x\mapsto P{\(x+1\)}$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#7 23. 06. 2019 19:07

Spider97
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: Pedagogická fakulta
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-06/09620_trancendentn%25C3%25AD%2Bprvek.png

tohle jsem dala dohromady tedy

Offline

 

#8 23. 06. 2019 22:53

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4235
Škola:
Reputace:   104 
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

↑ Spider97: V rieseni chyba slovny komentar. Ak sa pokusis doplnit ho, zrejme si uvedomis chyby, ktore tam mas. Tak napriklad - na zaciatku druhaho riadku dokazu su $A,B$ vyroky, ale v tom istom riadku sa z nich stanu prvky okruhu. Takisto nie je jasne, preco by vyraz v poslednom riadku mal byt nulovy a ak by aj bol, co by to znamenalo. Vsimni si, ze ↑ jarrro: ti ulohu v podstate vyriesil.

Offline

 

#9 23. 06. 2019 23:32

Spider97
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: Pedagogická fakulta
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

↑ vlado_bb: Řídila jsem se tím, co mi poradil můj učitel. Výroky $A, B$ mají jakoby reprezentovat ty prvky okruhu, ale máte pravdu, upravím to. Dále jsem se v postupu snažila dokázat pomocí úprav obecného předpisu polynomu, že $t+1$ je kořenem nějakého polynomu a pokud polynom položím rovno nule, měla bych dostat jeho kořeny. Poslední řádek je vlastně polynom, který vznikl roznásobením $t+1$ což dokazuje, že $t+1$ je kořenem tohoto polynomu, nebo jsem si to špatně vyložila?

Offline

 

#10 23. 06. 2019 23:50

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4235
Škola:
Reputace:   104 
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

↑ Spider97: Nadokazujeme, ze $t+1$ je algebraicke, my to predpokladame. Sama to predsa pises v druhom riadku dokazu: $B' \implies A'$.

Offline

 

#11 24. 06. 2019 00:05

Spider97
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: Pedagogická fakulta
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

↑ vlado_bb: Však tento předpoklad chceme dokázat ne? Jsem z toho zmatená, jakmile zmizí čísla a je to obecně, tak se začínám ztrácet.

Offline

 

#12 24. 06. 2019 00:19

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4235
Škola:
Reputace:   104 
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

↑ Spider97: Ale ved sama pises, ze dokazujes tvrdenie "Ak $t+1$ je algebraicke, tak $t$ je algebraicke." Takze PREDPOKLADAS, ze $t+1$ je algebraicke, nedokazujes to.

Offline

 

#13 24. 06. 2019 00:27

Spider97
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: Pedagogická fakulta
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

↑ vlado_bb: Tak tedy potom nevím, co mám dělat. Vím, že jste odkazoval na to, co radil jarrro, ale to taky nevím, jak myslí.

Offline

 

#14 24. 06. 2019 07:03

jarrro
Příspěvky: 4997
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

Máš dokázať implikáciu
$\underbrace{t\text{ je transcendentné }}_{A}\Rightarrow \underbrace{t+1 \text{ 
je transcendentné }}_{B}$
Čo je ekvivalentné implikácii
$\underbrace{t+1 \text{ je algebraické }}_{\neg{B}}\Rightarrow \underbrace{t \text{ 
je algebraické }}_{\neg{A}}$
Teda predpokladáš iba, že si v okruhu a v jeho rozšírení a že existuje polynóm $P$ taký, že $P{\(t+1\)}=0$.
Ak definuješ $\(\forall x\)\(Q{\(x\)}=P{\(x+1\)}\)$ tak zistíš, že $Q{\(t\)}=P{\(t+1\)}=0$, teda aj $t$ je algebraický. (Že $Q$ je polynóm je buď zrejmé alebo to môžeš dokázať ako súčasť hlavného dôkazu.)


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#15 24. 06. 2019 15:40

Spider97
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: Pedagogická fakulta
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

↑ jarrro: tak ale proč mi to, co jsem tu posílala ten učitel ukazoval? a říkal, že to tak stačí

Offline

 

#16 24. 06. 2019 17:02

Brano
Příspěvky: 2543
Reputace:   219 
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

rad by som este podotkol, ze sme tu uz raz mali debatu, ze "transcendentny prvok nad okruhom" nie je standardny pojem, ale existuje "transcendentny prvok nad polom" - tak by ma zaujmala aj ta jedna veta so skript co sa tomu venuje

Offline

 

#17 24. 06. 2019 17:08

Spider97
Zelenáč
Příspěvky: 13
Škola: Pedagogická fakulta
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

Offline

 

#18 25. 06. 2019 13:12 — Editoval jarrro (25. 06. 2019 13:14)

jarrro
Příspěvky: 4997
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: Transcendentní prvek nad okruhem

tak ale to je úplne niečo iné potom.
Nech $t$ je transcendentný prvok a nech $a_0+a_1\(t+1\)+a_2\(t+1\)^2+\cdots+ a_n\(t+1\)^n=0$
$a_0+a_1+a_1t+a_2t^2+a_2t+a_2t+a_2+\cdots+a_nt^n+\underbrace{a_nt^{n-1}+\cdots+a_nt^{n-1}}_{n \text{ krát }}+\cdots+\underbrace{a_nt^{n-k}+\cdots+a_nt^{n-k}}_{{{n}\choose {k}}\text{ krát }}+\cdots+a_n=0$
Teda z transcendencie  tčka vyplýva, že $a_n=0$
Teda $a_0+a_1\(t+1\)+a_2\(t+1\)^2+\cdots+ a_{n-1}\(t+1\)^{n-1}=0$
Podobne sa dostane, že $a_{n-1}=0$ atď.
Indukciou z predpokladu, že $a_{n-k}=0$ a použitím daného postupu dostaneš $a_{n-k-1}=0$ pre $k<n$
Teda všetky ačka sú nuly teda $t+1$ je transcendentné.
Snáď som nenapísal somariny skontrolujte to niekto prosím.


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson