Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#376 30. 05. 2019 11:03

vanusok
Zelenáč
Příspěvky: 8
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

↑↑ krakonoš:problem80
Ahoj.

$g(x)=\frac{d}{dx}log^{2}(\frac{1}{x})=-2\cdot log(\frac{1}{x})\cdot \frac{1}{x^{2}}$
$g(x)>0 $ pre $x\in (K;\infty )         K>0$
označme $f(x)=\frac{log(1+x)}{1+x^{2}}$
$\lim_{x\to\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{2}$  limita je vlastna nenulová
$\int_{K}^{\infty }g(x) dx=[log^{2}(\frac{1}{x})]_{K}^{\infty }=\infty $
$\int_{K}^{\infty }f(x)dx=\infty \Leftrightarrow \int_{K}^{\infty }g(x)dx=\infty \Leftrightarrow $
$\int_{0}^{\infty }f(x)dx=\infty $

Offline

 

#377 30. 05. 2019 16:05

krakonoš
Příspěvky: 686
Reputace:   23 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanusok:
Ahoj.
Díky moc.

Měla jsem spočítat 3 příklady.Ty ostatní byly v pohodě,tenhle mi připadal nejprve nejlehčí,ale opak byl pravdou.Ještě jsem se s tímto typem v literatuře nesetkala.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#378 30. 05. 2019 22:53

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑↑ krakonoš:
Problem 80.
Len mala poznamka .
Podla wa
$\int_{0}^{\infty }\frac{loi(x+1)}{x^{2}+1}dx$
je $\gamma +\frac {\pi \ln(2)}4$ .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#379 30. 05. 2019 23:41 — Editoval krakonoš (31. 05. 2019 10:25)

krakonoš
Příspěvky: 686
Reputace:   23 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
Wa je pocitacovy program?.Uz vidim pocetni chybu!Je tam spatne spoctena derivace.
Takze asi mas pravdu.Diky
Po pravde receno,nevidim zatim funkci,ze ktere by integral konvergoval &podil funkci dal vlastni limitu.A k logaritmu primitivni funkci,kteta by byla omezena,neurcim.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#380 31. 05. 2019 02:42

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4644
Škola: PřF MUNI
Reputace:   219 
 

Re: Limitny maraton


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#381 31. 05. 2019 12:18 — Editoval krakonoš (01. 06. 2019 13:44)

krakonoš
Příspěvky: 686
Reputace:   23 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj
Možná by šlo uvažovat o funkci $\frac{log(x+1)}{x-1}-\frac{log(x+1)}{x}$,
(to by už vlastní limitu při podílu funkcí dávalo) a integrál $\frac{log(x+1)}{x-1}-\frac{log(x+1)}{x}$  by měl konvergovat vzhledem ke konvergenci odpovídající číselné řady .Pripadne dokazat konvergenci rady log(n plus 1)/nnadruhou s pomoci Eulerovy konstanty.
Jinak mě už nic nenapadá.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#382 09. 06. 2019 20:45 — Editoval vanok (09. 06. 2019 21:36)

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Limitny maraton

KProblem (82) 
Polozme $u_n=\frac {sin (x)}1 +\frac {sin(2x)}2+ ... +\frac{sin(nx)}n$.
Dokazte, ze tato postupnost konverguje v $ x=\frac {\pi}{n+1}$; $n \to \infty$ k nenulovej limite.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#383 10. 06. 2019 09:07

krakonoš
Příspěvky: 686
Reputace:   23 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
Máš na mysli rozvoj funkce -x/2 ve Fourierovu  řadu na intervalu -pí;pí?


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#384 10. 06. 2019 10:42

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Limitny maraton

Cau ↑ krakonoš:,
Mozno aj to je mozna cesta k rieseniu. 
No je aj o mnoho prirodzenejsie riesenie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#385 10. 06. 2019 13:54 — Editoval Marian (10. 06. 2019 13:54)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2507
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   66 
 

Re: Limitny maraton

@82

Pišme

$U_n
 =\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin\left (\frac{k\pi}{n+1}\right )}{k}
 =\frac{1}{n+1}\cdot\sum_{k=1}^{n+1}\frac{\sin\left (\frac{k\pi}{n+1}\right )}{\frac{k}{n+1}}
 =\int_{0}^{1}\frac{\sin (\pi x)}{x}\,\mathrm dx.$

Odtud je kladnost (i omezenost) zřejmě vidět.

Offline

 

#386 10. 06. 2019 14:54 — Editoval krakonoš (10. 06. 2019 15:27)

krakonoš
Příspěvky: 686
Reputace:   23 
 

Re: Limitny maraton

↑ Marian:
Ahoj
Ta konvergence řady je vidět už z toho,že $sinx<x; sin2x<2x      ...atd$.
Už ta majoranta bude mít častečný součet $n\cdot \frac{\pi }{n+1}$.
Co se týče kladnosti,tak řada podobná zadané,jen se střídavými znaménky by měla mít součet nula.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#387 10. 06. 2019 15:03 — Editoval vanok (11. 07. 2019 23:35)

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ Marian:,
Presnejsie  vyuzil som Riemann-ovu sumu
$\lim_{n \to \infty} \frac {\pi}{n+1}\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin\left (\frac{k\pi}{n+1}\right )}{k\frac {\pi}{n+1}}
 =\int_{0}^{\pi}\frac{\sin ( x)}{x}\,\mathrm dx>0.$.

Otazka
↑ Marian:

$U_n
 =\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin\left (\frac{k\pi}{n+1}\right )}{k}
 =\frac{1}{n+1}\cdot\sum_{k=1}^{n+1}\frac{\sin\left (\frac{k\pi}{n+1}\right )}{\frac{k}{n+1}}
 =\int_{0}^{1}\frac{\sin (\pi x)}{x}\,\mathrm dx.$

Mozes nam vysvetlit tvoj vysledok, ktory si vyssie v#385  napisal ( a je tu v ramecku pripomenuty).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#388 10. 06. 2019 15:20 — Editoval stuart clark (10. 06. 2019 15:20)

stuart clark
Příspěvky: 965
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Problem $(83)$

If $f'(x)>0$ for all$x\in\mathbb{R^{+}}$ and

$f:\mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R}$  and $f(x)+\frac{1}{x}=f^{-1}\bigg(\frac{1}{f(x)}\bigg)>0$.

Then value of $\frac{\pi}{\sin^{-1}(f(2))}=$

Offline

 

#389 13. 06. 2019 00:53 — Editoval laszky (13. 06. 2019 01:23)

laszky
Příspěvky: 1466
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   116 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:

Hi.

Offline

 

#390 18. 06. 2019 01:43

stuart clark
Příspěvky: 965
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Thanks ↑ laszky:

Offline

 

#391 24. 06. 2019 00:14

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Limitny maraton

Hi ↑ stuart clark:,
this problem (83) is very interesting, but you chose the wrong place to ask it!


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#392 24. 06. 2019 15:37 Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#393 06. 07. 2019 22:24

kerajs
Příspěvky: 182
Reputace:   16 
 

Re: Limitny maraton

84:
$\lim_{ n \to  \infty  }  \frac{ \sqrt{n} +  \sqrt[3]{n} +...+  \sqrt[n]{n}  }{n} $

Offline

 

#394 08. 07. 2019 21:42 — Editoval vanok (10. 07. 2019 14:23)

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ kerajs:,
Problem (84).
Poznamka: najrychlejsia metoda je, zda sa mi, vypocet vdaka Stolz-Cesaro-vej vety. 
Ty cakas ine riesenie?

POZOR
Poznamka co som napisal vyssie je nepresna.
Pozrite na ↑ vanok:, kde najdete co treba.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#395 09. 07. 2019 07:11

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2507
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   66 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:

Svádí to k SC, ale je nutno si uvědomit, že klasické znění tebou navrhované poučky nezahruje případy, kdy jsou všechny sčítance závislé na n.

Jeví se pravděpodobné, že limita bude rovna 1. Možná by to šlo nějak odhadem shora a zdola (ten zdola je triviální). Shora zatím nevím.

Offline

 

#396 09. 07. 2019 09:16 — Editoval vanok (09. 07. 2019 09:55)

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ Marian:,

Zda sa, ze hladana limita je 1.

No skusme najst  dokaz.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#397 09. 07. 2019 11:09 — Editoval kerajs (09. 07. 2019 11:11)

kerajs
Příspěvky: 182
Reputace:   16 
 

Re: Limitny maraton

Ano, limita je rovna 1.

Ne Vanok, nečekám na riesenie.

Offline

 

#398 10. 07. 2019 14:21 — Editoval vanok (12. 07. 2019 16:59)

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Limitny maraton

Cau ↑ Marian:,
Tvoja poznamka je skutocne spravna. 
V mojom prispevku ↑ vanok: som sa, trochu urychlene, a nepresne vyjadril. 
Tak tu pridavam to co som mal napisat.   

Na dokaz, podla mna sa da pouzit znama Caychyho veta, ( z jeho knihy Analyse algébrique z 1821). 
Ide o vetu: Ak postupnost $( x_i)_{ i \in \Bbb N}$ konverguje k nule, tak aj postupnost jej aritmetickych priemerov konverguje k nule.

Aby sa tu zbytocne nepolemizivalo, pripominam, ze $\Bbb N$ obsahuje (tuto) aj $0$

Pochopitelne je lahke generalizovat tuto vetu aj ked dana limita konverguje k realnemu cislu $L$.  (1)
A tiez, ak dana postupnost je kladna aj na jej geometricky priemer. (2) ( tieto generalizacie necham foristom doplnit).

Tak teraz, vdaka tomu, co som tu vyssie napisal, da sa urobit jednoduchy a rychly dokaz.  Tak tu dam nan navod. 

Pripominam, ze som tu uz dokazal, $\sqrt[n]{n} $ konverguje k $1$
No vsak, pridavam  este aj dokaz tohto tvrdenia vdaka (2).


Podobne vdaka (1)
$\lim_{ n \to  \infty  }  \frac{1+ \sqrt{2} +  \sqrt[3]{3} +...+  \sqrt[n]{n}  }{n} =1$ lebo $\sqrt[n]{n}   $ konverguje k $1$

Édit.   Toto nie je riesenie danej otazky... treba ho nast.( dakujem kolegovy Bâti za upozornenie)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#399 12. 07. 2019 12:34

Bati
Příspěvky: 2202
Reputace:   171 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ vanok:,
na jakou ze posloupnost aplikujes tu vetu?

Offline

 

#400 12. 07. 2019 13:00 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Nepresna odpoved

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson