Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#426 31. 07. 2019 15:17 — Editoval vanok (31. 07. 2019 19:32)

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem,

Toto cvicenie mozme aj takto riesit. 

Najprv urcime mozne limity.  ( to tu podrobne napisem).
A)
Ak $u_0=u_1=0$ tak dana postupnost je nulova.   

Tak predpokladajme, ze nie sme v takej situacii a vtedy rekurenciou mame, ze $\forall i\in \Bbb N, u_i>0$.  (*)

Ak postupnost konverguje, tak jej limita $l$ je taka, ze $l=2\sqrt l$, cize $ l=0$ alebo $l=4$

Ak by $ 0<u_i<1$ pre kazde $i$, nasa postupnost by bola stupajuca a ohranicena cislom 1; a mala by tak limitu $l\in [0;1]$
No vsak sme uz dokazali,ze to nie je mozne.  Co nam tiez da, ze existuje $p\in \Bbb N^*; u_p\ge 1$.  Co da aj pre kazde $i \ge p; u_i\ge1$

Tak je jasne, ze v situacii (*) jedina mozna limita je 4.

B)Navod na pokracovanie:
Na  (dost elegantne riesenie) postupne polozme
$v_i=\frac 12 \sqrt {u_i}$, co da $ v_{i+2}^2=\frac 12 (v_{i+1}+v_i) $ ( pre kazde i ....)
$w_i=v_i-1$, a tu plati $(w_{i+2}+1)^2=\frac 12(w_{i+1}+w_i)+1$ ( vdaka predoslej rovnosti).
co vyuzijeme...

Pochopitelne, ak treba, aj cast B) podrobne rozvediem.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#427 31. 07. 2019 16:50

krakonoš
Příspěvky: 555
Reputace:   20 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Kdyby byla posloupnost rostoucí, nebyla shora omezená a měla limitu nekonečno, nemohlo by však zároveň platit$u_{i+2}^{2}=u_{i+1}+u_{i}+2\sqrt{u_{i+1}\cdot u_{i}}\le 4u_{i+1}$.
Musí být tedy shora omezena a mít tedy limitu rovnu čtyřem.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#428 31. 07. 2019 17:16

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

Cau ↑ krakonoš:,
Len co budem mat trochu casu doplnim moje riesenie, cast B)    ↑ vanok:


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#429 31. 07. 2019 19:31 — Editoval vanok (01. 08. 2019 21:38)

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Pokracovanie casti B) v ↑ vanok:.
Posledna rovnost da $w_{i+2}^2+2w_{i+2}+1=\frac 12(w_{i+1}+w_i)+1$ a tak po malej uprave
$w_{i+2}= \frac {w_{i+1}+w_i}{2(2+w_{i+2})}$
Pre kazde $i\ge p$, je  $v_i \ge \frac 12$ a tak $ 2+w_i= 1+v_i \ge \frac 32$
To nam da $\forall i \ge p, |w_{i+2}|\le \frac 13 (|w_{i+1}|+|w_i|)$.

Postupnost $(x_i)_{i\ge p}$ definovana rekurentne takto :  $x_p=|w_p|; x_{p+1}=|w_{p+1} | \wedge \forall i\ge p, x_{i+2}=\frac 13 (x_{i+1}+x_i)$ je klasicka rekurentna linearna radu 2, a preto $\exists (\lambda , \mu )  \in \Bbb R^2 (\forall i \ge p), x_i=\lambda (\frac {1+\sqrt {13}}6)^i+\mu (\frac {1-\sqrt {13}}6)^i$ ( viete preco?).
A tak mame $\lim x_i=0$


Tato kladna postupnost ohranicuje z hora postupnost $(|w_i|)_{i \ge p}$ , co da $\lim w_i=0$
a tak aj $\lim v_i=1$ a tiez $\lim u_i=4$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#430 02. 08. 2019 15:55 — Editoval vanok (02. 08. 2019 15:59)

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

Problem (88).

Nech $f$ je realna funkcia klasy $  C ^1$    na $\Bbb R_+$ taka ze$\lim_{x\to +\infty}(f(x)+2f^{\prime}(x))=0$.
Urcite $\lim_{x\to +\infty}(f(x))$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#431 03. 08. 2019 22:44

check_drummer
Příspěvky: 2691
Reputace:   73 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj, jen malá úvaha


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#432 04. 08. 2019 09:07 — Editoval krakonoš (04. 08. 2019 09:17)

krakonoš
Příspěvky: 555
Reputace:   20 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:↑ check_drummer:
Ahoj,pozdravuji z Krkonoš.
Za předpokladu,že limita existuje by šlo možná uvažovat sporem,kdy máme dokázat,že pouze nulová limita vyhovuje.
Kdyby byla limita funkce f(x)  kladná,aby měla funkce tuto limitu, musela by být od určitého x k této limitě klesající, nebo rostoucí,nebo by šla tato funkce shora i zdola omezit funkcemi,které jsou klesající a rostoucí a mají tutéž limitu -  jako např u funkce sinx/x.
Celý problém lze podle mě redukovat na rostoucí či klesající funkci.
Kdyby byla tedy funkce f(x) klesající od určitého x a měla kladnou limitu L,s použitím trojúhelníkové nerovnosti na limitu,která má být rovna nule bychom dostali,že  bychom museli umět dělat libovolně malé absolutni hodnotu(derivace funkce f(x) plus  L/2),když je klesající,tak to není možné.
Podobně u rostoucí funkce,


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#433 04. 08. 2019 11:35 — Editoval vanok (04. 08. 2019 23:56)

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravy ↑ krakonoš:↑ check_drummer:,

Toto cvicenie sa da pochopitelne riesit viacerymi sposobmi.

Napr.
A) vyuzit a vysetrit differencialnu rovnicu 2y’+y=g(x)
B) pouzit funkciu h definovanu na $\Bbb R_+$ taku, ze h(x)=f(x). exp(x/2). 

Pozrite na riesenie B) nasledujuce okienko.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#434 04. 08. 2019 23:54 — Editoval vanok (06. 08. 2019 20:37)

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

Tak to riesenie B) ↑ vanok:.

Mame 2h’(x)/(2f’(x)+f(x))exp(x/2)
Predpoklad z textu cvicenia  da ↑ vanok::
$\forall \varepsilon >0, \exists \alpha \ge 0$ take, ze $\forall x\ge \alpha ,|f(x)+2f^{\prime}(x)|\le \varepsilon $
a tak $\forall x\ge \alpha ,2|h^{\prime}(x)|\le \varepsilon \exp(x/2)$

Na dokoncenie... ( urobim to cim skor)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#435 05. 08. 2019 11:50

krakonoš
Příspěvky: 555
Reputace:   20 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
Prosím Tě,
cílem důkazu má být, že vyhovuje pouze exponenciela a funkce y=0?


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#436 05. 08. 2019 12:22

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:,
No skor dokazes, ze je  kladny nasobok exp(-x/2) je vädci ako  f (x) ( pre $x\ge \alpha $ ako aj dokaze co som zacal v #434). A tiez aj keby si vyriesila cvicenie metodou A) pouzijes tu istu myslienku.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#437 05. 08. 2019 13:24

krakonoš
Příspěvky: 555
Reputace:   20 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
I já původně viděla , že budou vyhovovat vztahu funkce y=0 a exponenciela exp(-x/2).
Tam je ale limita.Jsou ale i jiné funkce,které vztah splní např 1/x.Proto jsem na to šla nakonec obecně.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#438 06. 08. 2019 21:31 — Editoval vanok (07. 08. 2019 01:13)

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

Pokracovanie #434
$\forall x\ge \alpha ,2|h(x)-h(\alpha)|\le 2\varepsilon (\exp(x/2)-\exp(\alpha/2))\le 2\varepsilon \exp(x/2)$
( vdaka skrytej poznamke v #434).
cize $|h(x)| \le|h(\alpha )| +\varepsilon \exp(x/2)$,
co da $|f(x)| \le |f(\alpha)| \exp( \frac {\alpha-x}2)+\varepsilon$.
No  vsak $\lim_{x\to +\infty}|f(\alpha)|\exp(\frac {\alpha-x}2)=0$ a tak existuje $b\ge  \alpha$ take, ze $\forall x \ge b,|f(\alpha)|\exp(\frac {\alpha-x}2)\le \varepsilon$.
Cize $\forall \varepsilon>0, \exists b\ge 0, \forall x\ge 0, x\ge b  \Rightarrow  |f( x)|\le 2\varepsilon$ a konecne
$\lim_{x\to +\infty}f(x)=0$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#439 09. 08. 2019 14:17

krakonoš
Příspěvky: 555
Reputace:   20 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj
Připadá mi, že první řádek v #438 už vyplývá ze samotné definice derivace a vztahu
$|h'(x)|<=\varepsilon \cdot (exp(x/2))'$.
Pokud je h rostoucí, pak funkce $\varepsilon \cdot (exp(x/2)) -h$ je neklesající.
Pokud je h klesající, pak funkce$\varepsilon \cdot (exp(x/2)) +h$ je neklesající.
V případě h konstantní je to zřejmé.Všechny tyto případy vedou k platnosti vztahu
$|h(x)-h(\alpha )|<=\varepsilon \cdot (exp(x/2))$


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#440 09. 08. 2019 14:36

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:,
V dokaze som pouzil “ théorème des accroissements finis”, pozri si ju napr. tu https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théor&# … ts_finis_2


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#441 09. 08. 2019 16:23

krakonoš
Příspěvky: 555
Reputace:   20 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj
Na to jsem se dívala včera, jde vpodstatě o aplikaci Cauchyho věty, která je důsledkem Rollovy věty.Jen mi připadalo , že tady nepotřebujeme použít,kolikrát větší derivace, tolikrát větší tangens na uzavřeném intervalu -že ta věta je možná zbytečně silná, a tedy by existoval jednodušší postup.Tady stačí, že když funkce má od .určitého okamžiku stále větší derivaci než ta druhá, pak i rozdíl hodnot má  vždy větší


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#442 10. 08. 2019 09:12

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

Cau ↑ krakonoš:,
Riesenie, ktore som oznacil B) ma vyhodu, ze je rychle.

No ked, chces mozes kludne pouzit aj variantu A), ktora popisana v #433, pouziva riesenie linearnej diferancielnej rovnice prveho radu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#443 10. 08. 2019 09:43 — Editoval krakonoš (10. 08. 2019 10:11)

krakonoš
Příspěvky: 555
Reputace:   20 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj
Já nemám zásadní  výhrady k té metodě,ani k metodě přes separované proměnné,jen jsem chtěla poukázat,že je to vlastně pouhý důsledek definice derivace a monotonie, která z definice přímo vyplývá.Proč vlastně vidět za jednoduchými věcmi složitou teorii.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#444 10. 08. 2019 16:04

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem,
Problem (89).

Nech $u_n= \frac 1n \sum_{k=1}^{n} \( [\frac {2n}k]-2[\frac nk] \)$ , kde $n\in \Bbb N^*$
( [ ] ...oznacuje celu cast )
Urcite $\lim_{n\to +\infty } u_n$ ( ak existuje). 


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#445 13. 08. 2019 09:28

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

V ↑ vanok: mozte napriklad vyuzit, ze funkcia $f$ definovana na $[0;1]$ definovana takto $f(0)=2019$ a pre $x \in ]0;1],f(x)=[\frac 2x]-2[\frac 1x]$ je Riemann-integrovatelna na intervale $[0;1]$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#446 13. 08. 2019 12:03 — Editoval krakonoš (13. 08. 2019 12:34) Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#447 13. 08. 2019 21:10 — Editoval krakonoš (13. 08. 2019 21:19) Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#448 14. 08. 2019 02:33 — Editoval vanok (14. 08. 2019 14:24)

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

Pokracovanie ↑ vanok:,
Cize $u_n$ je Riemann-ova suma a $\lim_{n\to +\infty } u_n=\int_{0}^{1}f(x)dx$

a mozme dokazat, ze sa rovna $2\ln 2 -1$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#449 15. 08. 2019 16:21 — Editoval vanok (15. 08. 2019 16:36)

vanok
Příspěvky: 13416
Reputace:   725 
 

Re: Limitny maraton

Pokracovanie (89),


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#450 15. 08. 2019 16:40 — Editoval krakonoš (15. 08. 2019 18:16)

krakonoš
Příspěvky: 555
Reputace:   20 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ale vždyť sám vidíš, že f(3/8)=1 podle výpočtu, ve skrytém textu #448 to však neodpovídá ani jednomu ze dvou případů.
Ten výpočet ve #449 je sice vpořádku, využíváš při výpočtu derivaci v kruhu konvergence, zpětné integrace a přejdeš  na hranici konvergence, díky konvergence řady podle Abelova kriteria, tak jsem  to aspoň pochopila,ale když nejsou správně předchozí kroky, k čemu je to dobré???


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson