Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 08. 2019 10:20

mahen
Zelenáč
Příspěvky: 10
Reputace:   
 

Úloha Leonarda da Vinci (???)

Pěkný den všem! Snad zde tato úloha ještě nebyla, snažil jsem se ji tu někde v historii najít, ale zatím neúspěšně. Dočetl jsem se o ní v knížce, která by snad (rádoby) měla obsahovat úlohy přisuzované Leonardu da Vinci (osobně o tom dost pochybuji, no ale to asi není až zas tak podstatné). Přiznám se, že jsem ani za měsíc ode dne, kdy jsem si její zadání přečetl, nedospěl k dostatečně uspokojivému řešení, a tak se na Vás obracím s prosbou, neuměl-li by někdo poradit.

Zadání úlohy zní:
Máme kružnici známého poloměru $r_{0}$, pro jednoduchost řekněme 1. Této kružnici opíšeme rovnostranný trojúhelník, kterému následně opíšeme zase kružnici (její poloměr označme $r_{1}$ ). Této druhé kružnici opíšeme nyní čtverec a jemu následně opíšeme zase další kružnici (o poloměru $r_{2}$ ). Pokračujeme v opisování posledně získané kružnice nyní pravidelným pětiúhelníkem, kterému opět opíšeme kružnici (nyní již o poloměru $r_{3}$ ). Jak už jistě chápete, následovat budeme opisováním pravidelným šestiúhelníkem (jemuž poté opíšeme kružnici o poloměru $r_{4}$ ), pravidelným sedmiúhelníkem, ...  Otázka zní: ke které hodnotě bude konvergovat nekonečná posloupnost poloměrů $r_{n}$ kružnic opisovaných takto postupně dalším a dalším víceúhelníkům?

Již jsem byl schopen si jakž-takž zdůvodnit, že tato posloupnost vůbec konvergovat bude a nechat si ve wolframu spočítat výsledek té limity  (ta její hodnota je přibližně  8,700-násobek hodnoty $r_{0}$). Nějak mi to ale nestačí a rád bych věděl, existuje-li nějaká cesta, jak k tomu výsledku dospět běžnými znalostmi studenta základního kursu matematické analýzy na vysoké škole. Říkám si: jak by totiž na ni mohl znát odpověď už samotný Leonardo? (Chápu při tom, že v jeho době mohla mít ta úloha jinou formulaci, třeba mít  o něco méně náročnější požadavek - např. jen nějaké omezení, jak velký papír je zapotřebí si vzít, aby se mu to tam ty konstrukce všech těch mnohoúhelníků vešly...).

Vlastně tak chci odpověď na dotaz, jak se dospěje k tomu, že $\prod_{i=3}^{\infty }\frac{1}{cos\frac{\pi }{i}}\doteq \text{8,7}$

(omlouvám se za neumětelství v zápisu v matematických výrazů pomocí LaTeXového editoru - má první zkušenost)

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) mahen)

#2 07. 08. 2019 14:41 — Editoval Rumburak (14. 08. 2019 13:27)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8633
Reputace:   498 
 

Re: Úloha Leonarda da Vinci (???)

↑ mahen:

Ahoj.

Mnoho úloh tohoto typu je presentovýáno (často i s nástinem důkazu) formou přednášky na You-Tube,
kterou najdeš na webu pod vyhledávacím heslem "jak napálit matfyzáka".
Zda tam je i úloha, kterou uvádíš, to nevím  -  neměl jsem tolik času, abych mohl příslušnou přednášku
sledovat celou, ale určitě se k ní někdy vrátím.
Přednášku doporučuji i pro inteligentní humor přednášejícího.

Offline

 

#3 13. 08. 2019 11:20 — Editoval jarrro (13. 08. 2019 11:24)

jarrro
Příspěvky: 5009
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   284 
Web
 

Offline

 

#4 20. 08. 2019 17:21

mahen
Zelenáč
Příspěvky: 10
Reputace:   
 

Re: Úloha Leonarda da Vinci (???)

↑ jarrro:
Mockrát díky! To jsem nečekal, že je to tak "výživné"  (a silně pochybuji, že to mohl vyřešit už Leonardo...).

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson