Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 08. 2019 21:16

žabí hněv
Příspěvky: 61
Reputace:   
 

Jak dokázat, že Poset je svaz?

Ahoj.

Řekneme, že mám množinu X a relaci na ní určenou.

Nakreslim si Hasseův diagram. Jak ale určím, respektive matematicky dokáži, že se jedná o svaz, aniž bych dokazoval, že pro všechny dvojice z množiny X existuje supremum a infimum?

Ptám se na to, jak argumentovat, aniž bych musel sáhodlouze vypisovat seznamy suprem a infim.


Děkuji

Offline

 

#2 26. 08. 2019 08:34

jarrro
Příspěvky: 5037
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   285 
Web
 

Re: Jak dokázat, že Poset je svaz?

Ak sa nemýslim (čo je celkom možné ) tak ak je ten poset konečný tak by malo stačiť ukázať, že každá konečná množina má supremum teda, že má najmenší prvok a každá dvojprvková má supremum.
Infimum potom bude supremum dolných ohraničení.


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 26. 08. 2019 18:41 — Editoval žabí hněv (26. 08. 2019 18:43)

žabí hněv
Příspěvky: 61
Reputace:   
 

Re: Jak dokázat, že Poset je svaz?

↑ jarrro:

Moc z toho chytrej nejsem, ale to je moje chyba.

Dokázal by si mi vysvětlit, jak z níže uvedeného Hasseova diagramu dokážeš, že se jedná o svaz, aniž bys vypisoval všechna suprema a infima?

Uspořádání je dané dělitelností
//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-08/37655_svaz.png

Offline

 

#4 27. 08. 2019 08:08

jarrro
Příspěvky: 5037
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   285 
Web
 

Re: Jak dokázat, že Poset je svaz?

Uvažuj najmenší spoločný násobok.


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#5 27. 08. 2019 21:30 — Editoval žabí hněv (27. 08. 2019 22:19)

žabí hněv
Příspěvky: 61
Reputace:   
 

Re: Jak dokázat, že Poset je svaz?

↑ jarrro:

Asi už vím,

Pokud je $D_n$ množina dělitelů čísla $n$,  která je uspořádaná relací dělitelnosti,  potom je $D_n$ svaz.

Takže, pokud budu mít takovouto uspořádanou množinu, potom stačí dokázat, že všechna čísla z množiny dělí největší prvek

Dle obrázku výše by to bylo číslo $n=120$

Jak toto tvrzení korektně dokáži? Zřejmě to bude tím, že supremum libovolné dvojice je nejmenší společný násobek této dvojice, a infimem bude největší společný dělitel. 

Jde něco podobného i u uspořádání relací inkluze?

Offline

 

#6 28. 08. 2019 07:23 — Editoval jarrro (28. 08. 2019 07:27)

jarrro
Příspěvky: 5037
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   285 
Web
 

Re: Jak dokázat, že Poset je svaz?

Na obrázku sú delitele 60tky bez čísla 5.
že najmenší spoločný násobok je horné ohraničenie plynie z toho, že ide o usporiadanie deliteľnosťou a že je to supremum plynie z toho, že je najmenší.
Ak sa nemýlim tak poset deliteľov súčinu k rôznych prvočísel s deliteľnosťou  je izomorfný s posetom podmnožín k-prvkovej množiny s inklúziou.


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson