Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 26. 08. 2019 11:55 — Editoval ocas123 (26. 08. 2019 11:56)

ocas123
Příspěvky: 35
Pozice: student
Reputace:   
 

Matematická indukce (výraz s exponentem)

Zdravím, jak na to? Matematickou indukci jakž takž zvládám u jednodušších příkladů, ale nevím co s tím tady.

Dokažte, že pro každé $n \in   \mathbb{N}$ platí nerovnost:

$(1+\frac{1}{3})^n \ge 1 + \frac{n}{3}$

1. krok

$n = 1$
$\frac{4}{3} \ge _{} \frac{4}{3}$

2. krok

$n = k$
$(1+\frac{1}{3})^k \ge 1 + \frac{k}{3}
$

3. krok

$n = k+1$
$(1+\frac{1}{3})^{k+1} \ge 1 + \frac{k+1}{3}$

Ale nevím co teď, jak provést indukční krok? Mám dobře dosazené?

Díky za každou radu.

Offline

 

#2 26. 08. 2019 12:15

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4263
Škola:
Reputace:   106 
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

↑ ocas123: Je nevyhnutne pouzivat indukciu? Nerovnost je totiz ocividnym dosledkom Bernoulliho nerovnosti.

Offline

 

#3 26. 08. 2019 12:22 — Editoval jarrro (26. 08. 2019 12:24)

jarrro
Příspěvky: 5009
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   284 
Web
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#4 26. 08. 2019 14:07 — Editoval ocas123 (26. 08. 2019 14:12)

ocas123
Příspěvky: 35
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

↑ vlado_bb:
Bohužel, je to přímo zadáno jako příklad na indukci.

↑ jarrro:
Děkuju! Jen z toho nevidím, co jsi udělal s tou umocněnou závorkou?

Offline

 

#5 26. 08. 2019 14:23 — Editoval vlado_bb (26. 08. 2019 14:24)

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4263
Škola:
Reputace:   106 
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

↑ ocas123: V nerovnosti $\(1+\frac{1}{3}\)^{k+1} \ge \frac{4}{3}\(1 + \frac{k}{3}\)$ vyuzil ↑ jarrro: indukcny predpoklad. Po minute uvazovania zistis, ako.

Offline

 

#6 26. 08. 2019 18:23

ocas123
Příspěvky: 35
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

Snažím se na to přijít, ale pořád nevím.
Nevím, kde vzal ty $\frac{4}{3}$ a ani ty další zlomky.

Offline

 

#7 26. 08. 2019 19:34

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4263
Škola:
Reputace:   106 
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

Offline

 

#8 27. 08. 2019 14:05 — Editoval ocas123 (27. 08. 2019 14:06)

ocas123
Příspěvky: 35
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

Nevím, stále nerozumím tomu, jak dostal ty zlomky z té závorky umocněné na k+1.
//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-08/07527_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

A čumím na to už druhý den, zřejmě je to jednoduché, ale já to prostě nevidím.

Offline

 

#9 27. 08. 2019 14:39 — Editoval jarrro (27. 08. 2019 15:15)

jarrro
Příspěvky: 5009
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   284 
Web
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#10 28. 08. 2019 11:15

ocas123
Příspěvky: 35
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

Tak už jsem na to přišel.

n = k

$(1+\frac{1}{3})^k \ge 1 + \frac{k}{3}$

n = k + 1

$(1+\frac{1}{3})^{k+1} \ge \frac{4}{3}(1 + \frac{k}{3})$
$(1+\frac{1}{3})^{k} \cdot (1+\frac{1}{3}) \ge \frac{4}{3}(1 + \frac{k}{3})$
$(1+\frac{1}{3}) \ge \frac{4}{3}$

Offline

 

#11 28. 08. 2019 11:57 — Editoval vlado_bb (28. 08. 2019 12:30)

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4263
Škola:
Reputace:   106 
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

↑ ocas123: Ako skusajuci by som toto neuznal, chyba tam slovny komentar. Dokaz je postupnost vyrokov, nie formul. Navyse, tieto upravy ani nie su spravne, teda pokial ich chapeme ako implikacie.

Offline

 

#12 28. 08. 2019 15:11

ocas123
Příspěvky: 35
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

Jak to, že nejsou správné?
Rozdělil jsem tu závorku a z druhého kroku jsem použil tu ekvivalenci
$(1+\frac{1}{3})^k \ge 1 + \frac{k}{3}$

Našel jsem si v sešitě podobný příklad, který jsme tímto způsobem řešili přímo na přednášce.

Offline

 

#13 28. 08. 2019 19:35

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4263
Škola:
Reputace:   106 
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

↑ ocas123: Doplň podrobný slovný komentár a sám uvidíš v čom je chyba. Teraz tvoj dôkaz končí nerovnosťou $1+\frac 13\ge \frac 43$ a to sme určite dokazovať nechceli.

Offline

 

#14 28. 08. 2019 19:58 — Editoval ocas123 (28. 08. 2019 19:59)

ocas123
Příspěvky: 35
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

"Dokažte, že pro každé $n \in   \mathbb{N}$ platí nerovnost."
$(1+\frac{1}{3})^n \ge 1 + \frac{n}{3}$

Toto je zadání.

A to jsem tím třetím krokem přece dokázal, ne? Indukční krok byl při tom, kdy jsem rozdělil tu závorku a vyřadil to, co už jsem měl ve druhém kroku. Indukční krok je ten, že mohu toto:
$(1+\frac{1}{3})^k \ge 1 + \frac{k}{3}$

Využít u toho třetího kroku (k+1) a z obou stran nerovnice to dát pryč.

Offline

 

#15 28. 08. 2019 20:53

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4263
Škola:
Reputace:   106 
 

Re: Matematická indukce (výraz s exponentem)

↑ ocas123: Ak teda spravne rozumiem, vychadzas z nerovnosti $a \ge b$ (indukcny predpoklad). Na tomto zaklade z nerovnosti $ac \ge bd$ dostavas $c \ge d$. Je to tak? Toto ale nie je pravda, staci vziat napriklad $a = 2, b = 1, c=3, d=4$.

Ak treba dalsie rady, budu az po prezentacii tvojho riesenia s podrobnym slovnym komentarom.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson