Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 08. 2019 15:50

Roscelinius
Zelenáč
Příspěvky: 23
Škola: FEKT
Reputace:   
 

Znaménko permutace v definici vnějšího součinu.

Dobrý den,
snažím se nastudovat "Matematickou analýzu na varietách" a zastavil jsem se na formalismu znaménka permutace. Vnější součin je nadefinovaný jako :
$e_{I} \wedge e_{J} =
    \begin{cases}  0, &         pokud:  I \cap J \not=0 \\  sgn (\begin{smallmatrix} I,J \\ I\cup J \end{smallmatrix}),  &          pokud:  I \cap J =0     \end{cases}
$
kde  $I=\{i_{1}, ... , i_{k} \}; i_{1}< ...<i_{k}$
Dále jsou použity úpravy: $e_{I} \wedge e_{J} =
  sgn (\begin{smallmatrix} I,J \\ I\cup J \end{smallmatrix}) e_{ I\cup J}$ .
Dokázal by mi někdo vysvětlit, co přesně vyjadřuje ono znaménko permutace? Vím, že vnější součin je definován skrze základní vlastnost antikomutativit, a jde tedy nejspíše o různost multiindexů, resp jejich nulový průnik,  ale tomuto formalismu moc nerozumím.
Jelikož se především zabývám fyzikou, mám v matematických formalizmech celkem hokej, neměli byste tip na nějakou vhodnou publikaci, spíše slovníkového charakteru, věnovanou různým formalismům a co konkrétně představují.
děkuji

Offline

 

#2 10. 09. 2019 05:03 — Editoval OiBobik (10. 09. 2019 05:13)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1011
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: Znaménko permutace v definici vnějšího součinu.

↑ Roscelinius:

Ahoj,

v té definici nahoře ve spodním řádku ti chybí $e_{I \cup J}$. Tj pokud $I \cap J=\emptyset,$ pak $e_I \wedge e_J\stackrel{def}=sgn{I, J \choose I \cup J}e_{I \cup J}$.

K samotné otázce:
Ve tvém značení $e_I$ je zkratka pro $e_{i_1}\wedge e_{i_2} \wedge \dots \wedge e_{i_k}$. Adoptujeme-li podobné znační pro $J$, tj. $J=\{j_1 < j_2 < \dots j_m\},$ pak $e_{J}=e_{j_1}\wedge e_{j_2} \wedge \dots \wedge e_{j_m}$.
Podobně $e_{I \cup J}$ je vnější produkt všech výše zmíněných bázových vektorů, avšak opět (dle konvence) v rostoucím pořadí indexů. Tedy $e_{I \cup J}$ lze obdržet ze $e_{I} \wedge e_J=e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_k} \wedge e_{j_1} \wedge \dots \wedge e_{j_m}$ vhodným přeházením vektorů. Ale prohození dvojice sousedních vektorů vždy změní znaménko. Takže pokud člověk přehazuje postupně dvojice sousedních vektorů, nakonec dostane $e_{I \cup J}$ až na znaménko, které je $-$ pokud použitý počet prohození byl lichý, a $+$ pokud počet použitých prohození je sudý. To je přesně totéž, jako pronásobení znaménkem permutace ${I, J \choose I \cup J}$.


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson