Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 22. 09. 2019 11:49 — Editoval vanok (25. 09. 2019 21:34)

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Rovnica

Dokazte, ze rovnica  $8x^3-4 x^2-4x+1=0$ ma tieto tri korene
$\cos (\frac {\pi }7)$
$\cos (\frac {3\pi }7)$
$\cos (\frac {5\pi }7) $.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 22. 09. 2019 13:49

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Rovnica

Poznamka.
Tuto rovnicu najdete aj tu http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi7.html .
Tiez som ju pouzil aj tu https://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=105534   na #3.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 22. 09. 2019 19:51 — Editoval vanok (25. 09. 2019 21:46)

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Rovnica

Zaciatok riesenia:
Uz aj cvicenie  z https://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=105534  da:
$\cos (\frac {\pi }7) $ je riesenie danej rovnice  v #1.  ( co tu podrobne ukazeme)
Mame ze $\sin (\frac {3\pi }7)=\sin (\frac {4\pi }7)$,
a to preto, ze $\frac {3\pi +4\pi}7=\pi$.
To nam da okamzite, ze
$ 3\sin (\frac {\pi }7)-4\sin ^3(\frac {\pi }7)= 2\sin (\frac {2\pi }7).\cos(\frac {2\pi }7)=4\sin(\frac {\pi }7)\cos (\frac {\pi }7)\cos(\frac {2\pi }7) $

Posledny vyraz mozme vydelit nenulovym cislom $\sin (\frac {\pi }7)$, co nam po malej uprave da
$ 3-4(1-\cos ^2(\frac {\pi }7))=4\cos (\frac {\pi }7)(2\cos^2(\frac {\pi }7)-1) $
a konecne
$8\cos^3(\frac {\pi }7)-4\cos^2(\frac {\pi }7)-4\cos(\frac {\pi }7)+1=0$

Co znamena, ze $\cos (\frac {\pi }7)$ je jeden koren rovnice $8x^3-4 x^2-4x+1=0$.


Ako by ste dokazali, ze $\cos (\frac {3\pi }7)$ ako aj $\cos (\frac {5\pi }7)$ su dalsie korene danej rovnice?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 23. 09. 2019 12:19

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Rovnica

Hint: pouzite   Viète-ove relacie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 24. 09. 2019 10:35 — Editoval vanok (25. 09. 2019 11:49)

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Rovnica

Co znamena, ze treba dokazat :
$\cos (\frac {\pi }7).\cos (\frac {3\pi }7).\cos (\frac {5\pi }7)=-\frac 18$  (A)
$\cos (\frac {3\pi }7).\cos (\frac {\pi }7)+\cos (\frac {5\pi }7).\cos (\frac {3\pi }7)+\cos (\frac {\pi }7).\cos (\frac {5\pi }7)=-\frac 12$   (B)
$\cos (\frac {\pi }7)+\cos (\frac {3\pi }7)+\cos (\frac {5\pi }7)=\frac12$   (C).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 24. 09. 2019 12:58 — Editoval vanok (28. 09. 2019 01:35)

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Rovnica

Dokaz vlasnosti (A).
Tu staci pouzit, ze $\sin (2a)=2\sin(a)\cos(a)$, $\sin (\frac {8\pi }7)=-\sin (\frac {\pi }7)$ ako aj $\cos (\frac {3\pi}7)=-\cos (\frac{4\pi}7)$ a $\cos (\frac {5\pi}7)=-\cos (\frac{2\pi}7)$



A podobne ukoncite (B) a (C).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 26. 09. 2019 23:24

vanok
Příspěvky: 13539
Reputace:   730 
 

Re: Rovnica

Poznamka.
Tu som navrhol jedno mozne riesenie.
Otazka: da sa to aj inac riesit?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson