Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 10. 2019 11:23

Tousínek
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Důkaz pomocí matematické indukce

Dobrý den,
na vysoké škole máme takový půlsemestrální úkol a narazil jsem zde na příklad, který nevím jak vyřešit. Důkazy pomocí matematické indukce jsme brali jen pro nekonečné sčítání nebo odčítání. Proto nevím jak vyřešit tento příklad. Samozřejmě jsem proveld ukotvení pro n= 3, ale nějak nemohu dojít na úravu pro případ (n+1). Předem děkuji za pomoc
//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-10/94606_Pozn%25C3%25A1mka%2B2019-10-03%2B112230.png

Offline

  • (téma jako nevyřešené označil(a) Tousínek)

#2 03. 10. 2019 11:35

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4481
Škola:
Reputace:   109 
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ Tousínek: V indukcnom kroku vyuzi $\frac 1{n+1} < \frac 1n$.

Offline

 

#3 03. 10. 2019 11:38 — Editoval Ferdish (03. 10. 2019 11:38)

Ferdish
Příspěvky: 1668
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   48 
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

Ahoj, ak ste už mali definované Eulerovo číslo $\mathrm{e}$ vo forme limity, teda $\lim_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\mathrm{e}$, tak by sa to dalo použiť...

Offline

 

#4 03. 10. 2019 11:53

Tousínek
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ Ferdish:Nene toro jsme ještě nikde nebrali

Offline

 

#5 03. 10. 2019 11:54

Tousínek
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ vlado_bb: Ano na to jsem také ještě přišel ze vlastně v závorce vzniká menší a menší  číslo, ale vůbec nevím kam by mě to mělo dovézt :D

Offline

 

#6 03. 10. 2019 11:56 — Editoval Ferdish (03. 10. 2019 11:57)

Ferdish
Příspěvky: 1668
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   48 
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ Tousínek:
Tak pardon že som predbiehal. Ale ak budete preberať limity napr. na kurze matematickej analýzy alebo na iných kurzoch, tak sa k tomu určite dostanete :-)

Offline

 

#7 03. 10. 2019 11:58

Tousínek
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ Ferdish:. I tak děkuji za pokus o pomoc :D

Offline

 

#8 03. 10. 2019 12:39

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4481
Škola:
Reputace:   109 
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ Tousínek:Tak potom neviem, v com si mohol mat problem ... napis sem svoj postup, pokial si sa dostal.

Offline

 

#9 04. 10. 2019 14:08

Tousínek
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-10/90863_EPSON003.jpg
Toto můj postup... chci se zeptat jestli toto jako důkaz stačí?..... Dělit a násobit s neznámou můžu, protože vím, že je kladná... tak jsem se úpravama dostal ke kroku, který jsem předpokládal na začátku.

Offline

 

#10 04. 10. 2019 14:25 — Editoval Ferdish (04. 10. 2019 14:26)

Ferdish
Příspěvky: 1668
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   48 
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

Pozor, pre $n=k+1$ je výraz rovný $\left(1+{\frac {1}{k+1}}\right)^{k+1}$ a nie $\left(1+{\frac {1}{k+1}}\right)^{k}$.

V ďalších krokoch už píšeš tú mocninu správne, ale niektorí učitelia to môžu považovať za chybu, eventuálne za náznak, že zvyšok úlohy bol odniekiaľ opísaný...

Offline

 

#11 04. 10. 2019 14:40

Tousínek
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ Ferdish: Super děkuji za upozornění :) A zbytek úlohy si myslíte, že je úvaha správná?

Offline

 

#12 04. 10. 2019 14:47

Ferdish
Příspěvky: 1668
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   48 
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

Nepríde mi úplne správne, keď sa pri dôkaze MI dopracujem k samotnému indukčnému predpokladu, ale možno kolegovia-matematici ma vyvedú z omylu.

Ja na to môžem pozrieť najskôr až večer, pretože môj coffee break sa práve chýli ku koncu :-).

Offline

 

#13 04. 10. 2019 15:53

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4481
Škola:
Reputace:   109 
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ Tousínek: Technicka poznamka na uvod - preco student vysokej skoly nepouziva LaTeX?

K postupu - ↑ Ferdish: ma pravdu. Nemali sme dokazat induncny predpoklad, kedze jeho platnost PREDPOKLADAME. Uvaha by mala byt asi taka, ze

$\left ( 1+\frac 1{n+1}\right )^{n+1} <  \left ( 1+\frac 1{n}\right )^{n+1} = \left ( 1+\frac 1{n}\right )^{n}\left ( 1+\frac 1{n}\right ) < n \left ( 1+\frac 1{n}\right ) = n+1$

V druhej nerovnosti bol vyuzity indukcny predpoklad.

Offline

 

#14 04. 10. 2019 16:21 — Editoval Ferdish (04. 10. 2019 16:22)

Ferdish
Příspěvky: 1668
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   48 
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

vlado_bb napsal(a):

↑ Tousínek: Technicka poznamka na uvod - preco student vysokej skoly nepouziva LaTeX?

Prekvapuje ma, že sa nad tým pozastavuješ - na tomto fóre to nie je až tak neobvyklý jav.

Na druhú stranu, možno to píše z mobilu. Dnešní mladí ich používajú častejšie než PCčka a notebooky. Mne osobne sa však na malej dotykovej obrazovke píše blbo aj obyčajný text, maximálne píšem iba stručné odpovede a LaTeXovým výrazom za vyhýbam oblúkom, ak sa dá. Mám rád komfort veľkej obrazovky a klávesnice :-)

Offline

 

#15 04. 10. 2019 16:33

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4481
Škola:
Reputace:   109 
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ Ferdish: To je vsetko pravda, ale ak by som niekoho ziadal o pomoc, urobim vsetko pre to, aby som mu poskytnutie pomoci nekomplikoval

Offline

 

#16 04. 10. 2019 19:17 Příspěvek uživatele Tousínek byl skryt uživatelem Tousínek. Důvod: nečitelnost LaTeX obrázku

#17 04. 10. 2019 19:22 — Editoval Tousínek (06. 11. 2019 18:24)

Tousínek
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ vlado_bb: Nikdy jsem LaTeX neměl možnost používat, takže jsem nechtěl zkoušet něco nového, ale tak se pokusím :D stačí teda po úpravách:

.... Po tomto kroku teda určitě platí, že $\left(1 + \frac 1{n+1} \right)^{n+1}< n+1$
Omlouvám se, pokud působím jako dement :D ale na přednáškách ani ve cviku jsme žádný podobný příklad nedělali, a na netu jak se snažím, nemůžu najít také, žádný vhodný návod.
PS: nevím jestli vidíte ty nerovnice napsané v LaTeXu, proto pod toto pošlu ještě výstřižek těchto nerovnic

Offline

 

#18 04. 10. 2019 19:23

Tousínek
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

Offline

 

#19 04. 10. 2019 20:20

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4481
Škola:
Reputace:   109 
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ Tousínek: Cize tvoj zaver je $\left(1 + \frac 1n \right)^{n+1}< n+1$, to ale nie je to, co sme chceli. Zrejme si si nevsimol, ze som ti sem uz napisal uplne riesenie (druhy indukcny krok). No a samozrejme treba tam este doplnit slovny komentar.

Offline

 

#20 04. 10. 2019 21:14

Tousínek
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ vlado_bb: $\left(1 + \frac 1{n+1} \right)^{n+1} <\left(1 + \frac 1n \right)^{n+1} < n+1 $
Můj závěr je takovýto :D Pokud platí nerovnost mezi  prostředním s pravým, tak tedy musí platit i nerovnost levé strany s pravou...... Sformuluji to jinak, jde mi jen o to, jestli to stačí :) Nesmírně si vážím vaší pomoci. Moc děkuji

Offline

 

#21 04. 10. 2019 21:25

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4481
Škola:
Reputace:   109 
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ Tousínek: Ano, treba uz len k rieseniu doplnit prislusny slovny komentar.

Offline

 

#22 06. 11. 2019 18:19

Tousínek
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ vlado_bb: Rád bych se zeptal.. Dnes mi kamarád říkal že se tato indukce dá řešit metodou: že se podělí levá strana a práva strana prvního indukcniho kroku s  levou a pravou stranou indukcniho kroku: respektive že by platilo -
$\frac{Levastarana1}{Levastarana2} <\frac{Pravastarana1}{Pravastarana2} $

Chci se zeptat jestli je toto metoda, která se normálně používá nebo je to úplná blbost?

Offline

 

#23 06. 11. 2019 18:26

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4481
Škola:
Reputace:   109 
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ Tousínek: Bolo by mozne napisat to zrozumitelnejsie?

Offline

 

#24 06. 11. 2019 19:17 — Editoval Tousínek (06. 11. 2019 19:34)

Tousínek
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ vlado_bb:První indukční předpoklad:
$\left(1 + \frac 1{n} \right)^{n}< n$
Druhý indukční předpoklad:
$\left(1 + \frac 1{n+1} \right)^{n+1}< n+1$
Tedy ta vysledná nerovncie by vypadala
$\frac{ \left(1 + \frac 1{n+1} \right)^{n+1}}{\left(1 + \frac 1{n} \right)^{n}} < \frac{n+1}{n}$


Postupnými úpravami stoho pak výjde -1<0

Offline

 

#25 06. 11. 2019 19:40

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4481
Škola:
Reputace:   109 
 

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

↑ Tousínek:

$1<2$

$2<100$

Je potom pravda, ze

$\frac 12 < \frac 2{100}$

???

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson