Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 10. 2019 22:19

gestapák
Zelenáč
Příspěvky: 15
Reputace:   -1 
 

Indukčně vázané obvody

Čau.

Snažím se už nějakou dobu pochopit transformátor a to mě přivedlo k následujícímu jednoduššímu obvodu:

//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-10/48696_obvod.jpg

Všechna písmena jsou kladné veličiny. Pokud chci zjistit proudy ve smyčkách, je to řešení soustavy dvou dif. rovnic. Doufám, že to mám správně včetně znamének - upozorňuju, že mi jde jen o VELIKOST proudů ve smyčkách, takže tam nemám opačná znaménka pro opačnou orientaci proudu/napětí.

$$$i_{1}(t)=\frac{U-L_{1}\cdot i'(t)+M\cdot i_{2}'(t)}{R_{1}}$$$
$$$i_{2}(t)=\frac{M\cdot i_{1}'(t)-L_{2}\cdot i_{2}'(t)}{R_{2}}$$$

čili

$$$U-L_{1}\cdot i_{1}'(t)+M\cdot i_{2}'(t)=R_{1}\cdot i_{1}(t)$$$
$$$M*i_{1}'(t)-L_{2}\cdot i_{2}'(t)=R_{2}\cdot i_{2}(t)             i_{1}(0)=0, i_{2}(0)=0$$$


Jestli jde tahle soustava řešit, mohl by to někdo udělat? Sám to rozhodně nesvedu a wolfram s tím nic nedělá. Nebo jestli je nějaký způsob, jak aspoň přibližně popsat průběh proudů.

Hlavně mě to ale zajímá z hlediska přenosu energie, resp. výkonu. Jestli to chápu správně, tak z první smyčky se přenáší výkon z prvního induktoru, tj $$$p_{1}(t)=\frac{1}{2}\cdot L_{1}\cdot i_{1}^{2}(t)$$$, do druhé smyčky a měl by být roven výkonu proudu v sekundární smyčce (energie mag. pole se mění na energii proudu). Teď si ale nejsem jistý, jestli se v té sekundární smyčce jedná jen o "činný" výkon na rezistoru. Myslím ale, že by měl, protože kdyby ne a počítal by se do toho i výkon na druhém induktoru, nesměl by to být proud z řešení soustavy rovnic výše, protože to vzájemné ovlivňování je už zahrnuto v tom řešení. Co vy na to?

Offline

 

#2 10. 10. 2019 14:22 Příspěvek uživatele edison byl skryt uživatelem edison. Důvod: omylem odesláno nedokončené

#3 10. 10. 2019 14:53

edison
Příspěvky: 1549
Reputace:   34 
 

Re: Indukčně vázané obvody

gestapák napsal(a):

Hlavně mě to ale zajímá z hlediska přenosu energie, resp. výkonu. Jestli to chápu správně, tak z první smyčky se přenáší výkon z prvního induktoru, tj $$$p_{1}(t)=\frac{1}{2}\cdot L_{1}\cdot i_{1}^{2}(t)$$$, do druhé smyčky a měl by být roven výkonu proudu v sekundární smyčce (energie mag. pole se mění na energii proudu). Teď si ale nejsem jistý, jestli se v té sekundární smyčce jedná jen o "činný" výkon na rezistoru. Myslím ale, že by měl, protože kdyby ne a počítal by se do toho i výkon na druhém induktoru, nesměl by to být proud z řešení soustavy rovnic výše, protože to vzájemné ovlivňování je už zahrnuto v tom řešení. Co vy na to?

Pro začátek si to zjednodušme:
R1=0, M=1, R2=1 ohm, ale sekundární smyčku necháme zatím rozpojenou, L1=L2=1 H, U=1 V. Po zapnutí napájení bude skrz L1 procházet lineárně rostoucí proud:
$i_{1}=\frac{Ut}{L}=\frac{1t}{1}=t$

V magnetickém poli se bude hromadit energie:
$E=\frac{1}{2}Li_{1}\text{}^{2}=\frac{1}{2}t^{2}$

Na sekundáru se objeví napětí shodné s U, tedy 1 V.
Počkáme na t=1:
i1=1 A, E=0,5 J

Nyní zapneme sekundární smyčku. R2 začne odebírat 1 A, protože je na něm 1 V. Primární proud se zvýší o 1 A. Přenáší se výkon 1 W a přitom se stále hromadí energie v magnetickém poli. Máme tedy:
i1=2 A, i2= 1A, E=0,5 J

Počkáme 1s, na t=2:
$i_{1}=i_{2}+\frac{Ut}{L}=i_{2}+\frac{1t}{1}=i_{2}+t=1+2=3 A$
Odporem R2 stále prochází 1 A, sekundární výkon je stále 1 W, primár ale už žere 3 W, z toho 2 se ukládají do magnetického pole, a 1 přenáší na sekundár.
Do magnetického pole se už uložila energie:
$E=\frac{1}{2}Li_{l}\text{ }^{2}=\frac{1}{2}t^{2}=2 J$

S pokračujícím časem dál poroste i1 a nemění se i2, až to nakonec vyhoří:-)
Což je důvod, proč nejde přímo transformovat DC proud.

Offline

 

#4 13. 10. 2019 12:03 — Editoval MichalAld (13. 10. 2019 12:08)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2194
Reputace:   68 
 

Re: Indukčně vázané obvody

gestapák napsal(a):

Jestli jde tahle soustava řešit, mohl by to někdo udělat? Sám to rozhodně nesvedu a wolfram s tím nic nedělá. Nebo jestli je nějaký způsob, jak aspoň přibližně popsat průběh proudů.

Je to sice asi ten nejsložitější způsob, jak pochopit funkci transformátoru, ale budiž.
Dále si to ještě trochu zjednodušíme - totiž R1 nebudeme zatím uvažovat, a také nebudeme uvažovat rozptylové induknčosti transformátoru - tedy budeme předpokládat, že (reálně je M vždycky trochu menší):

$M = \sqrt{L_1 L_2}$

Dále budeme potřebovat vztah mezi indukčností a počtem závitů. Což je:

$L_1 = L_0 N_1^2$
$L_2 = L_0 N_2^2$
$M = \sqrt{L_1 L_2} = L_0 N_1 N_2$

L0 je vlastně taková hypotetická indukčnost jednoho závitu.
Také budeme předpokládat, že do transformátoru pouštíme sinusový signál (málokdy tam pouštíme něco jiného). Potom můžeme diferenciální rovnice převést na algebraické (v komplexním oboru) - je to standardní trik. Odpovídá vlastně tomu, že obvod napájíme signálem typu

$u = U e^{j \omega t}$

Pokud by nás zajímala odezva na jiný signál, není velký problém výsledek zase převést do diferenciálního tvaru.


Takže máme tedy rovnice (napíšu je raději znovu):
$u_1 = L_1 i_1' + M i_2'$
$0 = M i_1' + L i_2' + R_2 i_2$

Zde bych ještě podotknul, že je dobré si také označit konce cívek ... ale hlavně - musíme si dávat extrémní pozor na znaménka. Je jedno, jak si zvolíme proudy, i jak konce cívek - ale pokud popleteme znaménka (zejména ta kolem vzájemné indukčnosti) tak se nám nakonec nevyruší to, co se má vyrušit a vyjde úplný nesmysl.

Po převedení na algebraický tvar (můžeme také říct, že na to aplikujeme Fourierovu transformaci) dostaneme:
$U_1 = jX_1I_1 + jX_MI_2$
$0 = jX_MI_1 + jX_2I_2 + R_2I_2$

Teď už nás čeká jen práce. Je to obyčejná soustava lineárních (algebraických) rovnic, vyřešit ji znamená vlastně nalézt inverzní matici k matici pravé strany rovnic. Tahle soustava je ale jen druhého řádu, navíc tam nemáme napětí U2, takže to půjde i jednodušeji:


Z druhé rovnice vyjádříme I1 (mezikroky budu vynechávat, to bych to tu psal do večera):

$I_1 = -\frac{jX_2 + R_2}{jX_M} I_2$

A po dosazení do první rovnice dostaneme:

$U_1 = I_2  [ -jX_1 \frac{jX_2 + R_2}{jX_M} + jX_M ]$

To už je vlastně vztah mezi primárním napětím a sekundárním proudem. Teď už to stačí jen trochu upravit. Musíme si ovšem vzpomenout na ty vztahy, co jsem uvedl na začátku, mezi indukčností a počty závitů.

$U_1 = I_2  [ -j\frac{jX_1X_2}{jX_M} + jX_M  - \frac{ jX_1R_2}{jX_M}]$

A teď, když si uvědomíme, že $L_1L_2 = M^2$, tedy že i $X_1X_2 = X_M^2$, zjistíme, že ten první komplikovaný člen v závorce nám zmizí.

$U_1 = I_2  [ -jX_M + jX_M  - \frac{ jX_1R_2}{jX_M}]$

$U_1 = I_2  [-\frac{ jX_1R_2}{jX_M}]$

A to už je vlastně výsledek. Proud nám vychází se záporným znaménkem, protože jsme si ho na začátku namalovali obráceně, než ve sktuečnosti teče. Ty j-čka můžeme rovnou vykrátit, a když použijeme naše vztahy mezi indukčností a počtem závitů, dostaneme se nakonec k tomu, co běžně známe:

$U_1 = I_2  [-\frac{ \omega L_1 R_2}{\omega M}] = I_2  [-\frac{ \omega L_0 N_1^2 R_2}{\omega L_0 N_1 N_2}] = - I_2  [\frac{N_1}{N_2} R_2]$

$U_1 = - I_2  \frac{N_1}{N_2} R_2$

Tohle už je ten známý vzorec pro transformátor. Proud I1 si můžeš zkusit odvodit sám, když tento výsledek vhodně dosadíš... mělo by vyjít, že krom přetransformovaného proudu I2 obsahuje ještě reaktanční složku protékající primárním vinutím, ted L1 - říká se tomu magnetizační proud.

Stejně tak si můžeš celý postup doplnit o odpory vinutí (tedy o ten R1), pokud se navrhuje reálný transformátor, je tohle jednou z klíčových věcí, která návrh vlastně limituje. Protože činný odpor primárního vinutí musí být mnohem menší než jeho reaktanční odporu (lidově "odpor menší než indukčnost"). Jenže na větší indukčnost potřebujeme zase více drátu, a to znamená větší odpor - takže nezbude, než dávat větší jádro. Dále musí být indukčnost tak velká, aby byl primární proud tak malý aby nebylo dosaženo nasycení v jádře.

Přenášený výkon vlastně transformátor nijak neomezuje (jen odporem vodičů těch dvou cívek). Limitující je ta indukčnost primární cívky. Lze to řešit také tak, že použijeme vyšší frekvenci. To se dělá třeba v těch spínaných zdrojích - potom je tam transformátor úplně malinký (na feritovém hrníčku). Protože při vyšši frekvenci má primární cívka větší reaktanci - takže nemusí mít tak velkou indukčnost.

PS:
Vzhledem k tomu, že odvozená rovnice neobsahuje žádné "j-čko", platí v principu i pro stejnosměrné napětí. Ovšem, když si odvodíš rovnici pro primární proud, už to tak nebude. A pokud bys chtěl takovou situaci analyzovat správně, musíš vzít v úvahu i ten odpor R1, protože jinak by magnetizační proud cívkou L1 narůstal pořád ... a to je nesmysl.

Offline

 

#5 13. 10. 2019 14:41

edison
Příspěvky: 1549
Reputace:   34 
 

Re: Indukčně vázané obvody

↑ MichalAld:Moc pěkné. Sice občas transformátory navrhuju, ale tohle bych nedal:-)

Jen poznámka:

do transformátoru pouštíme sinusový signál (málokdy tam pouštíme něco jiného).

To už hezkých pár desetiletí neplatí, dnes spínané zdroje převažují víc než řádově, takže typickým průběhem napětí je obdélník, navíc v drtivé většině případů nesymetrický.

A z té nesymetrické většiny jsou zas skoro všechny typu flyback, tedy energie se transrferuje v době, kdy primárem neprochází proud. Tzn. v prvním kroku se nabíjí primární indukčnost, v druhém se po vypnutí primáru na sekundární straně odebírá proud. Z různých důvodů vychází tato konfigurace u malých výkonů nejlevnější.

Offline

 

#6 13. 10. 2019 22:33

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2194
Reputace:   68 
 

Re: Indukčně vázané obvody

edison napsal(a):

↑ MichalAld:Moc pěkné. Sice občas transformátory navrhuju, ale tohle bych nedal:-)

Samotného mě to překvapilo - včera někdy před půlnocí jsem dostal chuť zkusit, jesli ještě umím trochu počítat ... vím, že ty indukčnosti by se měly nějak vyrušit, a byl jsem sám zvědavý, jestli to dopadne...


edison napsal(a):

A z té nesymetrické většiny jsou zas skoro všechny typu flyback, tedy energie se transrferuje v době, kdy primárem neprochází proud. Tzn. v prvním kroku se nabíjí primární indukčnost, v druhém se po vypnutí primáru na sekundární straně odebírá proud. Z různých důvodů vychází tato konfigurace u malých výkonů nejlevnější.

Já vím, že dnes jsou spínané zdroje asi nejrozšířenějí použití transformátorů, ale nechtěl jsem se do toho moc zamotat. Navíc - zejména u těchto měničů co zmiňuješ (blokujcící měniče ?) se to v podstatě nechová jako transformátor, spíš něco jako "spínaný induktor" - analogicky dle "spínaných kapacitorů" ... protože ta hlavní myšlenka transformátoru - že magnetické pole vytvořené primárním a sekundárním proudem se navzájem ruší - už se tam nevyužívá.

A obávám se, že tahle zapojení (obsahující principiálně nelineární prvky) už nelze analyzovat tím algebraickým způsobem (pomocí reaktancí a impedancí) a musíme diferenciální rovnice řešit přímo.

Offline

 

#7 14. 10. 2019 02:00

edison
Příspěvky: 1549
Reputace:   34 
 

Re: Indukčně vázané obvody

Ono je to naopak jednoduší. V praxi je to vždy potřeba navrhnout tak, že odpory jsou z hlediska průběhů zanedbatelné a tak se pak můžou zanedbat i ve výpočtech. Když je po zapnutí na primáru 320 V, tak je jedno, že z toho bude 0-3 V úbytek napětí na tranzistoru a podobně na odporu drátu:-)

Takže se nakonec dostaneme k triviálnímu lineárnímu vztahu

$i_{prim} = i_{SecTransf}+i_{ZbyvajiciZminule}+\frac{Ut}{L}$

(v případě blokujícího měniče pak navíc ani není transformovaný proud)
A tím máme vyřešeno téměř vše ohledně průběhu proudu:-)
No a pak je klasické:

$\frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{u_{1}}{u_{2}}=\frac{i_{2}}{i_{1}}$

Pak jsou samozřejmě nějaké detaily, jak to celé navrhnout, ale základ je výšeuvedené.

Offline

 

#8 14. 10. 2019 13:14 — Editoval edison (14. 10. 2019 13:15)

edison
Příspěvky: 1549
Reputace:   34 
 

Re: Indukčně vázané obvody

Vlastně je v tom primárním proudu kromě magnetizačního max. jen jeden další. Když je to propustný měnič a je tam transformovaný sekundární proud, tak tam zas nezbývá žádný magnetizační od minule, ten se vždy důsledně likviduje.

---
Ale teď by se taky měl vyjádřit původní tazatel, zda mu to takhle stačí, či zda má nějaké dotazy:-)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson