Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 26. 10. 2019 17:16

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4653
Škola: PřF MUNI
Reputace:   220 
 

Peanova věta

Zdravím, mám trochu problém s důkazem Peanovy věty.

Nechť $x_0\in\mathbb{R}^n,t_0\in\mathbb{R},a>0$ a $b>0$. Položme $D=\{(t,x)\in \mathbb{R}^{n+1}\ ;\ t_0\leq t\leq t_0+a,\,|x-x_0|\leq b\}$ a uvažme spojitou funkci $f:D\to \mathbb R^n$. Potom má počáteční úloha $x'=f(t,x),x(t_0)=x_0$ alespoň jedno řešení na intervalu $[t_0,t_0+\alpha]$, kde $\alpha=\min\{a,b/M\},M=\max\nolimits_{(t,x)\in D}|f(t,x)|$.

Důkaz začíná ta, že si zadefinujeme dvě množiny funkcí
$\mathcal F=\{x(t):[t_0,t_0+\alpha]\to\mathbb R^n\ ;\ x(t)\text{ spojitá}\}$,
kde uvažujeme normu $|x|=\max\nolimits_{t\in[t_0,t_0+\alpha]}|x(t)|$, a
$\mathcal M=\{x\in\mathcal F\ ;\ |x(t)-x_0|\leq b\text{ pro }t\in[t_0,t_0+\alpha]\}$.

Už tady mám poněkud zmatek... Ta věc |-| v definici M, to znamená co? Euklidovskou normu branou přes všechny hodnoty t? Pokud ano, proč je tam před tím zmiňovaná norma na F?

No, pokračuje se tak, že se ukáže neprázdnost (to je mi snad jasné, $x(t)\equiv x_0\in\mathcal M$ ) a uzavřenost, o které se tvrdí, že je zřejmá. No, mně to jasné teda není...


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) byk7)

#2 26. 10. 2019 19:54 — Editoval Bati (26. 10. 2019 20:00)

Bati
Příspěvky: 2205
Reputace:   172 
 

Re: Peanova věta

Ahoj ↑ byk7:,
tu normu bych radsi znacil $\|x\|$, jinak se to zacne trochu mlit... Ta vec v definici M tedy znamena, ze $\|x-x_0\|\leq b$, tj. funkce $x$ neni moc daleko od pocatecni podminky v maximove norme (ktera na spojitych funkcich na om. uz. intervalu splyva se supremovou a je standardni). Jestlize mam nejakou posloupnost $x_n$ z M, ktera konverguje k $x$ (v norme $\|\cdot\|$), pak je jasne, ze $x$ je spojita na prislusnem intervalu, nebot se jedna o stejnomernou konvergenci spojitych funkci. Dale, protoze $x_n$ konverguji stejnomerne, plati
$\|x-x_0\|\leq\|x-x_n\|+\|x_n-x_0\|\leq \|x-x_n\|+b\to b$,
takže $x$ patri do M. To je uzavrenost.

To ze tvrdi, ze to je zrejme je nejspis proto, ze norma je vzdycky spojity funkcional (vzhledem k sobe same) a posunuti o $x_0$ to nezkazi.

Offline

 

#3 26. 10. 2019 20:25

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4653
Škola: PřF MUNI
Reputace:   220 
 

Re: Peanova věta

Díky za reakci.

>  Ta vec v definici M tedy znamena, ze $\|x-x_0\|\leq b$

Což, pokud se nepletu, znamená, že systém funkcí M je stejnoměrně ohraničený, což je předpoklad pro použití AA věty (přesně si ty dva pány nepamatuju...), tak?

> ktera na spojitych funkcich na om. uz. intervalu splyva se supremovou

To je mi jasné.

> a je standardni

Tady jsem trochu znejistěl, co přesně tím chceš říct. Jako,že se standardně používá?

> Jestlize mam nejakou posloupnost $x_n$ z M, ktera konverguje k $x$ (v norme $\|\cdot\|$), pak je jasne, ze $x$ je spojita na prislusnem intervalu, nebot se jedna o stejnomernou konvergenci spojitych funkci

Tomu už asi taky rozumím, jinak řečeno, při označení $J=[t_0,t_0+\alpha]$ a při předpokladu spojitosti funkcí $x_n$
$\|x_n-x\|\to0\Leftrightarrow\max_J|x_n(t)-x(t)|\to0\Leftrightarrow\sup_J|x_n(t)-x(t)|\to0\Leftrightarrow x_n\rightrightarrows x$
tj. $x$ je taky spojitá

> $\|x-x_0\|\leq\|x-x_n\|+\|x_n-x_0\|\leq \|x-x_n\|+b\to b$

Toto mi tam taky chybělo...


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#4 26. 10. 2019 20:41

Bati
Příspěvky: 2205
Reputace:   172 
 

Re: Peanova věta

ano, to jsem tim myslel..supremova metrika na spojitych funkcich...ale to je jednio, co je standardni pro me, nemusi nic znamenat

ok..ale jak pisu na konci: jakmile si clovek uvedomi, ze obecne plati $\|x\|\to\|y\|$ kdyz $\|x-y\|\to0$, tak je to evidentni, protoze limita zachovava nerovnost

Offline

 

#5 11. 11. 2019 04:26

vanok
Příspěvky: 13591
Reputace:   731 
 

Re: Peanova věta


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson