Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#526 03. 10. 2019 16:23

stuart clark
Příspěvky: 971
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

problem (97)

$\lim_{n\rightarrow \infty}\bigg(\frac{1}{3+1}+\frac{2}{3^2+1}+\frac{2^2}{3^{2^{2}}+1}+\cdots +\frac{2^{n-1}}{3^{2^{n-1}}+1}\bigg)$

Offline

 

#527 04. 10. 2019 23:59

krakonoš
Příspěvky: 751
Reputace:   24 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:
Hi Stuart Clark.
Please.
Is it realy$\sum_{k=0}^{\infty }\frac{2^{k}}{3^{2^{k}}+1}$?There has to be written $\sum_{k=0}^{\infty }\frac{2^{k}}{3^{2^{k}+1}}$?


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#528 05. 10. 2019 03:27

laszky
Příspěvky: 1544
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   122 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:

Hi.

Offline

 

#529 05. 10. 2019 11:02

vanok
Příspěvky: 13591
Reputace:   731 
 

Re: Limitny maraton

Problem (96).
Remark.
Look also https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis%27_integrals   .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#530 17. 10. 2019 16:25

stuart clark
Příspěvky: 971
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Thanks ↑ vanok:

Offline

 

#531 04. 11. 2019 22:21 — Editoval vanok (04. 11. 2019 22:22)

vanok
Příspěvky: 13591
Reputace:   731 
 

Re: Limitny maraton

Problem (98)
a)
Nech je rada $\sum_{}^{}u_k $ konvergentna.
Co mozete povedat o postupnosti $\frac {u_1+ 2u_2+...+ku_k} k$?


b)
Mame reciprocnu propoziciu k a)?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#532 04. 11. 2019 22:39

krakonoš
Příspěvky: 751
Reputace:   24 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj
Každá konvergentní řada musí mít omezené částečné součtyu1+u2+...+uk.
Takže i ta posloupnost, na kterou se ptáš, má tuto vlastnost.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#533 05. 11. 2019 08:45 — Editoval vanok (05. 11. 2019 08:47)

vanok
Příspěvky: 13591
Reputace:   731 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:,
Problem (98) a)
Presnejsie, mozes dokazat, ze  za daneho predpokladu
$\frac {u_1+ 2u_2+...+ku_k} k$ konverguje k nule .
( kludne mozes pouzit Cesaro-vu vetu.  )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#534 05. 11. 2019 12:50 — Editoval krakonoš (05. 11. 2019 20:19)

krakonoš
Příspěvky: 751
Reputace:   24 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj
To by ale vedlo k důkazu, že $k\cdot u_{k}$ jde k nule pro k jdoucí do nekonečna (výraz typu nula krát nekonečno).
Mě spíš napadlo vyjádření toho zlomku jako

$(u_{1}+....+u_{k})-\frac{u_{1}+(u_{1}+u_{2})+...(u_{1}+u_{2}+....+u_{k-1})}{k}$ (*)
Omezenost částečných součtů by pak vedlo k sevřené limitě.
$M-(1-\frac{1}{k})M$
$
N-(1-\frac{1}{k})N$


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#535 05. 11. 2019 15:41

vanok
Příspěvky: 13591
Reputace:   731 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:, tu ti napisem ten dokaz, ( na ktory myslim).
Najprv definujem $U_k=\sum_{i=0}^ku_i$, a tak $u_k=U_k-U_{k-1}$ a tiez
$\frac {u_1+ 2u_2+...+ku_k} k= \frac {(U_1-U_0)+2(U_2-U_1)+...+k(U_k-U_{k-1})}k\\=U_k-\frac{U_0+U_1+...+U_{k-1}}k$.
A vdaka Cesano-vej  vete , ak $U_k$ konverguje k $U$ tak $\frac{U_0+U_1+...+U_{k-1}}k$ konverguje tiez k $U$ a tak pochopitelne aj $\frac {u_1+ 2u_2+...+ku_k} k$ konverguje k 0.

Ça sa tyka b)
Hint : ta neplati. ( staci najst nejaky proti priklad)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#536 05. 11. 2019 20:18

krakonoš
Příspěvky: 751
Reputace:   24 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj
To je  vlastně totéž vyjádření jako píšu já (*), já jedině pak využila omezenosti částečných součtů.

Co ale znamená ten pojem reciprocna propozice?


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#537 05. 11. 2019 20:27 — Editoval vanok (05. 11. 2019 20:28)

vanok
Příspěvky: 13591
Reputace:   731 
 

Re: Limitny maraton

↑ krakonoš:,
To ze znamena vysetrit, ci plati opacna implikacia .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#538 05. 11. 2019 22:30 — Editoval krakonoš (05. 11. 2019 22:35)

krakonoš
Příspěvky: 751
Reputace:   24 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
$\sum_{2}^{\infty }\frac{1}{n\cdot ln n}$ diverguje podle integrálního kriteria,
podle Stolzovy věty bude však limita nulová, protože $n\cdot \frac{1}{n\cdot ln n}$ jde k nule pro n jdoucí do nekonečna.
Řada je definovaná až pro n >=2,pro n=1 stačí člen definovat jako nulu.
Že to obráceně neplatí, to mě nepřekvapuje.Ta limita může být nulová díky omezenosti čitatele shora i zdola konstantou, přitom součet řady un vůbec vlastně ani nemusí existovat z důvodu oscilace.Ale nenapadá mě zrovna příklad na to.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#539 06. 11. 2019 12:14

vanok
Příspěvky: 13591
Reputace:   731 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:,
Mozes skusit radu $u_k=\frac 1{p \ln (p+1)}$ ak $k=p^2$ a $u_k=0$, ak k nie je formy $p^2$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#540 06. 11. 2019 17:14 — Editoval krakonoš (06. 11. 2019 17:17) Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#541 06. 11. 2019 17:45

krakonoš
Příspěvky: 751
Reputace:   24 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Myslel jsi
$\sum_{k=1}^{\infty }{\frac{1}{\sqrt{k}ln(1+\sqrt{k})}}\ge \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{2k}$, kde sčítáme pouze pro k taková, že $\sqrt{k} \in  N$?


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#542 06. 11. 2019 17:53 — Editoval vanok (06. 11. 2019 17:57)

vanok
Příspěvky: 13591
Reputace:   731 
 

Re: Limitny maraton

Vsak ked pocitas  tie nenulove prvky ide o $\sum_{k=1}^{\infty}u_k=\sum_{p=1}^{\infty}\frac 1{p \ln (p+1)}$
a tak to jasne diverguje. 
....


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#543 06. 11. 2019 18:16

krakonoš
Příspěvky: 751
Reputace:   24 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ano,  vždyť to uvádím, je to větší než půlka harmonické řady.
Nebo co jsi chtěl  ještě říct ještě tímto příkladem, nebo jenom uvést příklad   divergence ,podobně jako já?


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#544 06. 11. 2019 18:58 — Editoval vanok (11. 11. 2019 20:58)

vanok
Příspěvky: 13591
Reputace:   731 
 

Re: Limitny maraton

↑ krakonoš:,
Ano
A ked ukazes, ze $\frac {u_1+ 2u_2+...+ku_k} k$ aj tak konverguje k nule, mas hladany ( mozny) proti-priklad.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#545 11. 11. 2019 15:05

stuart clark
Příspěvky: 971
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Problem (99) Evaluation of $\lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{r=1}\bigg(\frac{r}{n^2}\bigg)^{\frac{r}{n^2}+1}$

Offline

 

#546 18. 11. 2019 15:05 — Editoval krakonoš (18. 11. 2019 15:07) Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#547 18. 11. 2019 22:25 — Editoval krakonoš (18. 11. 2019 23:28)

krakonoš
Příspěvky: 751
Reputace:   24 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Problem 99
Jestli jsem se někde nesekla
$L=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{n^{2}}\sum_{r=1}^{n}(\frac{r}{n^{2}})^{\frac{r}{n^{2}}}\cdot r$
$f(x)=(\frac{x}{n^{2}})^{\frac{x}{n^{2}}}$
$f'(x)<0 for                x<\frac{n^{2}}{e}$
x=1,2,...n
$(\frac{1}{n^{2}})^{\frac{1}{n^{2}}}>(\frac{2}{n^{2}})^{\frac{2}{n^{2}}}>...>(\frac{n}{n^{2}})^{\frac{n}{n^{2}}}$ for n>5 už při malém n , nechce se mi to počítat
$\lim_{n\to\infty }\frac{n(n+1)}{2n^{2}}\cdot( \frac{1}{n^{2}})^{\frac{1}{n^{2}}}=1/2$
$\lim_{n\to\infty }\frac{n(n+1)}{2n^{2}}\cdot( \frac{n}{n^{2}})^{\frac{n}{n^{2}}}=1/2$
$L=1/2$


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#548 Včera 10:50 — Editoval vanok (Včera 12:05)

vanok
Příspěvky: 13591
Reputace:   731 
 

Re: Limitny maraton

problem (100)

Vysetrite konvergetnost postupnosti $(u_n)$ a $(v_n)$ ,
ked  $u_n=\frac{d(1)+...+d(n)}n$ a $v_n= \frac{d(1)+...+d(n)}{n\ln(n)}$, ak $d(i)$ je pocet delitelov nenuloveho prirodzeneho cisla $i$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson