Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 08. 12. 2019 23:07 — Editoval Pozitron (08. 12. 2019 23:09)

Pozitron
Příspěvky: 59
Škola: Gymnázium
Pozice: Student
Reputace:   
 

určení posledních pěti číslic

Dobrý den,
Dnes nám dala paní učitelka v prváku na střední dala zajímavý příklad, mě zabral asi hodinu, má být řešitelný bez kalkulačky, ale pokud ji požijete tak vám ušetří asi patnáct minut počítání.
Zadání: mějme číslo $2^{10^{9}} = 2^{1000000000}$ určete jeho posledních pět cifer. (jednoty, desítky ...)

Nápověda 1:



Pokud máte nějaký časově efektivnější postup tak se o něj neváhejte podělit.

Offline

 

#2 08. 12. 2019 23:42 — Editoval Ferdish (08. 12. 2019 23:46)

Ferdish
Příspěvky: 2842
Škola: PF UPJŠ (2013), ÚEF SAV (2017)
Pozice: postdok
Reputace:   69 
 

Re: určení posledních pěti číslic

Offline

 

#3 09. 12. 2019 01:02

edison
Příspěvky: 2052
Reputace:   40 
 

Re: určení posledních pěti číslic

Pro Android existuje program jménem myslím Math tricks, různé dost vysoké mocniny a vysvětlení jak je počítat se tam vyskytují hodně.

Offline

 

#4 09. 12. 2019 21:12

check_drummer
Příspěvky: 2921
Reputace:   79 
 

Re: určení posledních pěti číslic

↑ Pozitron:
Ahoj, proč myslíš že je tvůj postup neefektivní?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#5 09. 12. 2019 21:53

Pozitron
Příspěvky: 59
Škola: Gymnázium
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: určení posledních pěti číslic

↑ check_drummer:
Protože mi učitelka řekla že je to zajímavé řešení, ale není optimální. A to její "lepší" mi nechce ukázat ať na něj přijdu sám.

Offline

 

#6 09. 12. 2019 22:58

laszky
Příspěvky: 1848
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   159 
 

Re: určení posledních pěti číslic

↑ Pozitron:

Ahoj, mozna by to mohlo jit takto:

Mocniny dvojky stridaji celkem 4 posledni cislice 2,4,8,6.
Poslednich dvojic je celkem 20: vsechna delitelna 4 (tj 25) minus 5 koncicich na 0.
Podobne poslednich trojic je 100, ctveric 500 a petic 2500.
Protoze se opakuji cyklicky (a $10^9/2500=400000$), stacilo by ti spocitat poslednich pet cifer cisla $2^{2500}$.
I to je vsak pracne.
Co je vsak jasne je, ze kdyz cislo $2^{10^9}$ respektive $2^{2500}$ vynasobis dvema,
musi se cyklus vratit na zacatek a vysledne cislo tak musi koncit dvojkou.
Kdyz znovu vynasobis dvema, musi cislo koncit 04, kdyz znovu dvema, tak musi koncit 008,
kdyz znovu dvema, tak cislo konci 0016 a kdyz jeste jednou dvema, tak cislo konci 00032.
Z toho uz jde odvodit, ze cislo  $2^{10^9}$ konci na... (zabere to 2-3 minutky)

Offline

 

#7 11. 12. 2019 13:43

check_drummer
Příspěvky: 2921
Reputace:   79 
 

Re: určení posledních pěti číslic

↑ laszky:
Ahoj, nesmíš použít úvahy týkající se mod 10000 ani práci s modulem. To vše si myslím skytě děláš, když uvažuješ cyklické posloupnosti. :-) Ale myslím, že byl ten zákaz příliš restriktivní.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#8 11. 12. 2019 13:48

check_drummer
Příspěvky: 2921
Reputace:   79 
 

Re: určení posledních pěti číslic

↑ laszky:
Ahoj ještě jednou, a je těmi podmínkami (po vynásobení 4 končí na 04, apod.) už to koncové pětičíslí určeno jednoznačně?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#9 11. 12. 2019 13:52

check_drummer
Příspěvky: 2921
Reputace:   79 
 

Re: určení posledních pěti číslic

laszky napsal(a):

Poslednich dvojic je celkem 20: vsechna delitelna 4 (tj 25) minus 5 koncicich na 0.

Jak víš, že se všechny takovéto dvojice dvojice (dělitelné 4) mocninami dvojky nabývají?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#10 11. 12. 2019 14:33 — Editoval laszky (11. 12. 2019 14:34)

laszky
Příspěvky: 1848
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   159 
 

Re: určení posledních pěti číslic

↑ check_drummer:

Ahoj. K te jednoznacnosti: Cisla (koncici na 6), ktera kdyz vynasobis 4 tak konci na 04, jsou celkem dvou typu: Bud konci na 26, nebo na 76. Cisla koncici na 26 ale muzes vyloucit, ptz nejsou delitelna 4. Obdobne se postupuje pro 008, 0016 a 00032.

To nabyvani mocnin by slo asi dokazat sporem... Napr. predpokladejme, ze mocnina cisla 2 nikdy nekonci na 48, potom ale mocnina 2 nikdy nekonci na 24, pak nemuze koncit ani na 12, ani na 56, ani na 28,...

Offline

 

#11 12. 12. 2019 22:03 — Editoval check_drummer (12. 12. 2019 23:49)

check_drummer
Příspěvky: 2921
Reputace:   79 
 

Re: určení posledních pěti číslic

laszky napsal(a):

↑ check_drummer:
To nabyvani mocnin by slo asi dokazat sporem... Napr. predpokladejme, ze mocnina cisla 2 nikdy nekonci na 48, potom ale mocnina 2 nikdy nekonci na 24, pak nemuze koncit ani na 12, ani na 56, ani na 28,...

Ale to už je vlastně výčet všech možností, protože můžeš zkoumat ty dvojice do té doby než nenarazíš na dvojici na kterou může mocnina končit, což může být i dost dlouhý řetězec. Stejně tak můžeš ty mocniny vyjádřit a zjistit kolik dvojčíslí opravdu je. Nešlo by to nějak elegantněji, např. že 100 má v rozkladu 25 a nsd(2,25)=1? a že 25 je druhá mocnina prvočísla? Třeba přes malou Fermatovu větu.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#12 14. 12. 2019 10:39 — Editoval vanok (14. 12. 2019 10:50)

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: určení posledních pěti číslic

Ahoj ↑ check_drummer:,
Myslim si ze pojem modulo je velmi prirodzeny  a asi kazdy stredoskolak ho pouziva v beznom zivote.  ( uz aj cas sa casto vyjadruje modulo 12, ci 24, uhlova miera v °, modulo 360 atd)
Inac konstatacia, ze $10^5=2^5.5^5$ moze byt vyhodne pouzita na riesenie problemu (ak riesitel vie nieco o Eulerovej funkcii).

Inac ako naznacil kolega Laszky(Pozdravujem) pre riesitela cvicenia, moze byt uzitocne, ze dlzka periody poslednych m cislllic daneho cisla je $4.5^{m-1}$, ak by chcel prehlbit pouzite vlasnosti v rieseni, ktore kolega popisal.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson